5. POTENCIAS Y RAÍCES
Descubre cómo funcionan las potencias y sus operaciones, aplica reglas de divisibilidad y aprende a interpretar la raíz cuadrada para resolver cálculos, situaciones matemáticas y problemas cotidianos.
Las potencias
🔢 ¿Qué es una potencia?
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación en la que todos los factores son iguales.
- Base: es el número que se repite como factor.
- Exponente: es el número pequeño situado arriba a la derecha que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
Cuando el exponente es 2, se lee «al cuadrado»; cuando es 3, se lee «al cubo».
¿Por qué una potencia con exponente 0 vale 1?
Observa qué ocurre cuando vamos disminuyendo el exponente de una potencia de base 3. Cada vez que bajamos una unidad en el exponente, dividimos el resultado anterior entre 3:
Lo mismo ocurre con cualquier base distinta de 0: al llegar al exponente 0, el resultado es 1. Por eso, por ejemplo, 90 = 1 y 120 = 1.
Las potencias de base 10 equivalen a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente.
Ejercicios de práctica
Escribe las siguientes multiplicaciones de factores iguales en forma de potencia:
- a) 4 × 4 × 4 × 4
- b) 7 × 7 × 7
- c) 10 × 10 × 10 × 10 × 10
- d) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Expresa las siguientes potencias como una multiplicación de factores iguales:
- a) 54
- b) 83
- c) 95
- d) 106
Calcula el valor numérico de las siguientes potencias:
- a) 25
- b) 34
- c) 63
- d) 92
Resuelve las siguientes potencias de base 10:
- a) 103
- b) 105
- c) 102
- d) 108
Completa el término que falta —base, exponente o resultado— en cada expresión:
- a) 4x = 64
- b) x3 = 125
- c) 10x = 1 000 000
- d) 73 = x
Identifica la base y el exponente de cada potencia y calcula su resultado final:
- a) 35
- b) 27
- c) 104
- d) 53
Resuelve las siguientes potencias atendiendo a los casos especiales de exponente 0, exponente 1 o base 1. Explica con una frase qué regla has aplicado:
- a) 181
- b) 90
- c) 115
- d) 120
Expresa cada enunciado en forma de potencia y halla su resultado:
- a) El cuadrado del número 8.
- b) El cubo del número 5.
- c) Dos elevado a la sexta potencia.
- d) Diez elevado a la cuarta potencia.
Divisibilidad: múltiplos, divisores, números primos y reglas
🧩 Conceptos clave de la divisibilidad
-
Múltiplo:
resultado de multiplicar un número por cualquier número natural. Son infinitos.
Algunos múltiplos de 3 --> 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36...
-
Divisor:
número que divide a otro de forma exacta, con resto cero. Son finitos.
Los divisores de 24 --> 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
-
Número primo:
solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. Deberías aprenderte de memoria los números primos, al menos, hasta el 19.
Los números primos hasta el 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Recuerda: el 1 no es primo ni compuesto.
- Número compuesto: tiene más de dos divisores. El 1 no es primo ni compuesto. Recuerda que las divisiones que hagas SIEMPRE tienen que ser exactas.
Reglas de divisibilidad principales
-
Por 2:
Cualquier número par es divisible por 2.
36 es divisible por 2 porque 36 es par. 36:2 = 18 y resto 0.
-
Por 3:
Cualquier número que la suma de sus cifras sea múltiplo de 3 es divisible por 3.
36 es divisible por 3 porque la suma de las cifras de 36 son 3 + 6 = 9. Y 9 es múltiplo de 3. 36:3 = 12 y resto 0.
-
Por 5:
Cualquier número terminado en 0 o en 5 es divisible por 5.
15 es divisible por 5 porque 15 acaba en 5. 15:5 = 3 y resto 0.
-
Por 10:
Cualquier número terminado en 0 es divisible por 10.
450 es divisible por 10 porque 450 acaba en 0. 450:10 = 45 y resto 0.
-
Por 7:
Separamos la última cifra, la multiplicamos por 2 y restamos ese resultado al número que queda delante.
Si el resultado es 0 o un múltiplo de 7, el número inicial es divisible por 7.
Podemos repetir el proceso si hace falta.
203 es divisible por 7 porque 20 − (3 × 2) = 14, y 14 es múltiplo de 7.
-
Por 11:
Sumamos las cifras que ocupan posiciones alternas y calculamos la diferencia entre las dos sumas.
Si esa diferencia es 0 o un múltiplo de 11, el número es divisible por 11.
2 728 es divisible por 11 porque (2 + 2) − (7 + 8) = −11, que es múltiplo de 11.
Ejercicios de práctica
Calcula los 5 primeros múltiplos de cada uno de los siguientes números naturales:
- a) 6
- b) 9
- c) 14
- d) 25
Halla todos los divisores de los siguientes números:
- a) 12
- b) 20
- c) 35
- d) 48
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F), justificando tu respuesta mediante múltiplos, divisores o reglas de divisibilidad:
- a) 77 es divisible por 11.
- b) 203 es divisible por 7.
- c) 91 es un número primo.
- d) 1 es divisor de cualquier número natural.
Encuentra dos múltiplos comunes para cada pareja de números:
- a) 4 y 6
- b) 7 y 14
- c) 11 y 22
- d) 8 y 12
Calcula todos los divisores comunes de las siguientes parejas de números:
- a) 18 y 24
- b) 20 y 30
- c) 15 y 45
- d) 16 y 40
Selecciona en cada apartado los números que cumplen simultáneamente las dos condiciones indicadas:
- a) Divisibles por 3 y por 5: 45, 60, 75, 90, 105.
- b) Divisibles por 2 y por 7: 28, 35, 42, 56, 70.
- c) Divisibles por 7 y por 11: 77, 121, 154, 203, 231.
- d) Divisibles por 3 y por 11: 99, 132, 165, 198, 220.
Clasifica los siguientes números en primos o compuestos. En los compuestos, indica al menos un divisor distinto de 1 y del propio número:
- a) 13
- b) 49
- c) 77
- d) 97
Escribe todos los números primos comprendidos entre el 10 y el 40.
- Números primos: ________________________________________________
Aplica las reglas de divisibilidad e indica por cuáles de los divisores 2, 5, 7 y 10 es divisible cada número:
- a) 350
- b) 770
- c) 1 470
- d) 2 205
Determina si cada número es divisible por 3, por 7 y por 11. Justifica cada respuesta aplicando la regla correspondiente:
- a) 462
- b) 245
- c) 517
- d) 310
Escribe la cifra que falta en el hueco para que el número cumpla la condición indicada:
- a) 42_ para que sea divisible por 5 y no por 10.
- b) 1_4 para que sea divisible por 7.
- c) 5_2 para que sea divisible por 11.
- d) 9_0 para que sea divisible por 3 y por 11 a la vez.
Copia y completa la siguiente tabla de divisibilidad indicando SÍ o NO en cada casilla. Aplica las reglas sin realizar todas las divisiones.
| Número | Por 2 | Por 3 | Por 5 | Por 7 | Por 9 | Por 10 | Por 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 231 | |||||||
| 330 | |||||||
| 441 | |||||||
| 770 |
Productos y cocientes de potencias de igual base y potencia de una potencia
⚙️ Reglas para operar con potencias
Producto de potencias de igual base: mantenemos la base y sumamos los exponentes.
2 3 × 2 4 = 2 7
Al desarrollar las dos potencias aparecen 3 factores 2 y otros 4 factores 2: en total hay 7 factores iguales.
Cociente de potencias de igual base: mantenemos la base y restamos los exponentes.
5 6 : 5 2 = 5 4
Esta regla se aplica cuando la base es distinta de 0 y el exponente del dividendo es igual o mayor que el del divisor.
Potencia de una potencia: mantenemos la base y multiplicamos los exponentes.
( 3 2 )4 = 3 8
La potencia 3 2 se repite 4 veces como factor: 2 + 2 + 2 + 2 = 8.
Ejercicios de práctica
Escribe cada producto como una sola potencia de la misma base y calcula el resultado cuando sea sencillo:
- a) 23 × 24
- b) 52 × 53
- c) 102 × 104
- d) 31 × 35
Aplica la regla del producto de potencias de igual base, prestando atención a los exponentes 0 y 1:
- a) 70 × 75
- b) 41 × 43
- c) 92 × 90
- d) 63 × 62
Completa el exponente que falta para que cada igualdad sea correcta:
- a) 32 × 3__ = 37
- b) 5__ × 54 = 59
- c) 103 × 10__ = 108
- d) 2__ × 21 = 26
Escribe cada cociente como una sola potencia de la misma base:
- a) 27 : 23
- b) 56 : 52
- c) 108 : 105
- d) 35 : 31
Resuelve los cocientes. Observa qué ocurre cuando los exponentes son iguales:
- a) 74 : 74
- b) 95 : 93
- c) 46 : 42
- d) 103 : 103
Simplifica cada expresión aplicando primero productos y cocientes de potencias de igual base:
- a) ( 23 × 25 ) : 24
- b) ( 56 : 52 ) × 51
- c) 37 : ( 32 × 33 )
- d) ( 102 × 105 ) : 104
Expresa cada potencia de una potencia como una sola potencia y calcula el exponente final:
- a) ( 23 )2
- b) ( 52 )3
- c) ( 34 )2
- d) ( 102 )4
Aplica la regla de la potencia de una potencia en estos casos especiales:
- a) ( 73 )0
- b) ( 40 )5
- c) ( 62 )1
- d) ( 31 )4
Reduce cada expresión a una sola potencia de la base indicada:
- a) ( 22 )3 × 21
- b) ( 53 )2 : 54
- c) ( 32 × 34 ) : 33
- d) ( 102 )3 : 104
Halla el valor del exponente desconocido x:
- a) 23 × 2x = 29
- b) 58 : 5x = 53
- c) ( 32 )x = 38
- d) 10x : 102 = 104
La raíz cuadrada
√ ¿Qué significa calcular una raíz cuadrada?
Calcular la raíz cuadrada de un número consiste en encontrar otro número que, multiplicado por sí mismo, produzca el número inicial. Por ejemplo, √ 49 = 7 porque 7 × 7 = 49.
Elementos de una raíz cuadrada
- Signo radical (√): indica que vamos a calcular una raíz.
- Índice: indica el tipo de raíz. En la raíz cuadrada el índice es 2 y normalmente no se escribe.
- Radicando: es el número situado dentro del radical. En √ 81 , el radicando es 81.
- Raíz: es el resultado. En √ 81 = 9, la raíz es 9.
- Resto: aparece cuando el radicando no es un cuadrado perfecto y buscamos la raíz cuadrada entera.
Raíz exacta: el radicando es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, √ 144 = 12 porque 12 2 = 144.
Raíz cuadrada entera y resto
Si el número no tiene raíz cuadrada exacta, buscamos el mayor cuadrado perfecto que no lo supere. Por ejemplo, para 50:
Conviene memorizar algunos cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225...
Ejercicios de práctica
Calcula las siguientes raíces cuadradas exactas:
- a) √ 49
- b) √ 81
- c) √ 144
- d) √ 225
Completa el número que falta en cada igualdad:
- a) √ 64 = ______
- b) √ 169 = ______
- c) √ ______ = 12
- d) √ ______ = 15
Halla la raíz cuadrada entera y el resto de cada radicando:
- a) √ 65
- b) √ 101
- c) √ 130
- d) √ 170
Un cuadrado tiene el área indicada. Calcula la longitud de su lado:
- a) Área = 196 cm²
- b) Área = 324 m²
- c) Área = 625 dm²
- d) Área = 900 cm²
Resuelve las siguientes expresiones combinando potencias y raíces cuadradas:
- a) √ 64 + 23
- b) √ 144 − 32
- c) √ 225 : 3 + 50
- d) √ 400 + ( 22 × 5)
Problemas y Desafíos
🧮 Parte A: Operaciones y problemas
Calcula respetando la jerarquía de las operaciones:
- a) 2 5 + 7 0 × 9
- b) ( 3 2 )2 − √ 64
- c) 5 4 : 5 2 + 17
- d) √ 225 + 10 2 : 10 1
Aplica las reglas de divisibilidad e indica todos los divisores de la lista por los que es divisible cada número: 2, 3, 5, 7, 9, 10 y 11.
- a) 462
- b) 770
- c) 1 386
- d) 2 310
Reduce a una sola potencia:
- a) 3 4 × 3 2
- b) 10 7 : 10 3
- c) ( 2 3 )4
- d) ( 5 2 × 5 4 ) : 5 3
Calcula la raíz exacta o, si no es exacta, indica la raíz cuadrada entera y el resto:
- a) √ 256
- b) √ 200
- c) √ 361
- d) √ 500
Problema 5
Una plaza cuadrada tiene una superficie de 1 296 m². ¿Cuántos metros mide cada lado? Expresa el cálculo mediante una raíz cuadrada.
Problema 6
Un sistema informático organiza datos en 2 3 grupos y cada grupo contiene 2 4 registros. Expresa el número total de registros como una sola potencia de base 2 y calcula su valor.
Problema 7
Una empresa dispone de 2 310 piezas y quiere preparar lotes iguales de 7, 10 u 11 piezas. Sin efectuar las tres divisiones completas, determina qué tamaños de lote son posibles aplicando las reglas de divisibilidad.
Problema 8
Un mosaico cuadrado contiene 625 azulejos colocados en el mismo número de filas que de columnas. ¿Cuántos azulejos hay en cada fila?
Problema 9
Una máquina multiplica por 5 la cantidad de piezas en cada etapa. Tras 6 etapas hay una cantidad proporcional a 5 6 . Si otra máquina ha alcanzado 5 3 veces la cantidad inicial, ¿cuántas veces mayor es la producción de la primera que la de la segunda? Resuelve usando un cociente de potencias de igual base.
Problema 10
Un terreno cuadrado tiene 1 000 m². Calcula su raíz cuadrada entera y el resto. Explica entre qué dos longitudes enteras consecutivas se encontraría el lado exacto del terreno.
🌟 Parte B: Desafíos
Desafío 1: El centro de datos del colegio
Un servidor organiza sus archivos en 4 3 carpetas principales. Dentro de cada una se crean 4 2 subcarpetas. Además, el panel de control muestra una cuadrícula cuadrada con 1 024 indicadores.
- Pregunta 1: Expresa el número total de subcarpetas mediante un producto de potencias de base 4 y redúcelo a una sola potencia.
- Pregunta 2: Si el sistema elimina un bloque equivalente a 4 2 carpetas, representa el cociente de potencias que permite saber cuántos bloques de ese tamaño hay.
- Pregunta 3: ¿Cuántos indicadores hay en cada fila del panel cuadrado? Utiliza una raíz cuadrada.
- Pregunta 4: Comprueba si 1 024 es divisible por 2, 7 y 11 aplicando las reglas estudiadas.
Desafío 2: El almacén robotizado
Un almacén dispone de 4 620 paquetes. El sistema puede agruparlos en cajas de 7, de 10 o de 11 paquetes. En otra zona se apilan cajas formando un cuadrado con 900 unidades.
- Pregunta 1: Determina, mediante reglas de divisibilidad, cuáles de los tres tamaños de caja permiten repartir los 4 620 paquetes sin resto.
- Pregunta 2: ¿Cuántas cajas caben en cada lado del apilamiento cuadrado de 900 unidades?
- Pregunta 3: Una cinta procesa 3 5 paquetes y otra 3 2 . ¿Cuántas veces más procesa la primera? Usa un cociente de potencias de igual base.
- Pregunta 4: Una tercera cinta trabaja con bloques de 2 4 posibilidades y combina tres bloques independientes. Representa el número de combinaciones como una potencia de una potencia y simplifícala.
Desafío 3: La feria de ciencias
Para una exposición se colocan 1 089 tarjetas formando un gran cuadrado. Cada equipo prepara además secuencias de luces que se repiten según potencias de base 2.
- Pregunta 1: Calcula cuántas tarjetas hay en cada lado del cuadrado.
- Pregunta 2: Comprueba si 1 089 es divisible por 3, 9 y 11.
- Pregunta 3: Simplifica 2 7 × 2 3 : 2 5 como una sola potencia.
- Pregunta 4: Explica por qué 33 0 = 1 utilizando la idea de disminuir el exponente y dividir sucesivamente entre 33.
Repasamos lo aprendido
Bloque de consolidación y repaso global de la Situación de Aprendizaje
🟢 Ficha de Refuerzo
Repasa las potencias y los casos especiales:
- a) 4 3 = ______
- b) 18 0 = ______
- c) 10 5 = ______
- d) Explica con una frase por qué cualquier base distinta de 0 elevada a 0 vale 1.
Aplica las reglas de divisibilidad:
- a) ¿Es 203 divisible por 7? Justifica.
- b) ¿Es 2 728 divisible por 11? Justifica.
- c) Indica si 630 es divisible por 2, 3, 5, 7 y 10.
- d) Clasifica 29 y 77 como primos o compuestos.
Opera con potencias de igual base:
- a) 2 3 × 2 4
- b) 5 6 : 5 2
- c) ( 3 2 )3
- d) ( 10 4 × 10 2 ) : 10 3
Calcula las raíces:
- a) √ 81
- b) √ 196
- c) √ 50 : raíz entera y resto
- d) Un cuadrado tiene 324 cm² de área. ¿Cuánto mide su lado?
Resuelve el problema integrado:
- a) Simplifica 4 5 : 4 2 .
- b) Comprueba si 693 es divisible por 7 y por 11.
- c) Calcula la raíz cuadrada entera de 200 y su resto.
- d) Calcula 6 0 + √ 121 .
🟠 Ficha de Ampliación
Razona sobre las potencias:
- a) 2 x = 256 ➔ x = ______
- b) 7 0 + 1 50 = ______
- c) Escribe 1 000 000 000 como potencia de base 10.
- d) Explica por qué 15 0 = 1 usando la secuencia 15 2 , 15 1 , 15 0 .
Resuelve retos de divisibilidad:
- a) Busca una cifra para que 8_4 sea divisible por 7.
- b) Busca una cifra para que 6_6 sea divisible por 11.
- c) Indica cuáles de 1 155, 1 386, 1 540 y 1 617 son divisibles por 7 y por 11.
- d) Escribe un número de tres cifras divisible simultáneamente por 3, 7 y 11.
Simplifica al máximo:
- a) ( 2 3 )4 : 2 5
- b) ( 5 2 × 5 6 ) : 5 3
- c) ( 3 4 )2 × 3 1
- d) 10 9 : ( 10 2 × 10 3 )
Calcula o aproxima mediante raíz cuadrada entera:
- a) √ 576
- b) √ 350 : raíz entera y resto
- c) √ 999 : raíz entera y resto
- d) Un cuadrado tiene 2 025 m² de área. Calcula la longitud del lado.
Desafío integrado:
- a) Simplifica ( 3 2 )4 : 3 3 .
- b) Comprueba si 2 541 es divisible por 7 y 11.
- c) Calcula √ 729 .
- d) Una cuadrícula cuadrada tiene 1 600 casillas. Si cada lado se duplica, ¿cuántas casillas tendrá la nueva cuadrícula? Expresa el factor de aumento mediante una potencia.
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