8. GEOMETRÍA PLANA Y ESPACIAL
Aprende a orientarte mediante planos, cuadrículas, coordenadas y escalas; analiza ángulos, simetrías y construcciones geométricas; estudia los elementos y centros de los triángulos, aplica el teorema de Pitágoras y calcula perímetros, áreas y volúmenes en situaciones reales.
Localización, desplazamientos y escalas
Orientación espacial y escala gráfica
Para orientarnos sobre un plano o mapa representamos el espacio mediante un sistema de referencia o una cuadrícula. La escala relaciona las medidas del dibujo con las medidas reales.
- Escala numérica: expresa la relación mediante dos números, por ejemplo 1:100 000.
- Escala gráfica: utiliza una barra dividida en segmentos con su equivalencia real.
Escala gráfica y escala numérica
En un mapa oficial de Andalucía elaborado a escala 1:200 000, la distancia en línea recta entre dos municipios de la Vega de Granada mide exactamente 8,5 cm. ¿Cuál es la distancia real que separa a ambas localidades expresada en kilómetros?
Un plano del Parque Natural de Cazorla, Segura y Las Villas está diseñado a escala 1:50 000. Si una ruta senderista tiene una longitud real de 14,5 km, ¿cuántos centímetros medirá dicha ruta sobre el plano?
Un grupo de escolares analiza un mapa turístico de Córdoba a escala 1:10 000. Parten de la Mezquita-Catedral y caminan 4 cm hacia el norte sobre el mapa, luego 2,5 cm hacia el este y finalmente 1,5 cm hacia el sur para llegar al Palacio de Viana.
- a) ¿Cuántos centímetros han recorrido en total sobre el mapa?
- b) ¿A cuántos metros reales equivale ese desplazamiento total?
Observa la escala gráfica de un mapa regional donde un segmento de 2 cm representa una distancia real de 10 km.
- a) Determina la escala numérica correspondiente a dicho mapa.
- b) Si la distancia en el mapa entre Antequera y Ronda es de 11,2 cm, calcula la distancia real en kilómetros.
En el plano de un trazado ferroviario entre Sevilla y Cádiz a escala 1:250 000, dos estaciones distan entre sí 18,4 cm. Un tren de alta velocidad recorre esa distancia a una velocidad media de 180 km/h. ¿Cuántos minutos tardará el tren en realizar ese trayecto?
Observa este mapa esquemático de la península ibérica. La cuadrícula funciona como un sistema de referencia: las columnas se identifican con letras mayúsculas y las filas con números. Utiliza también la escala gráfica para interpretar distancias aproximadas.
- a) ¿En qué casilla de la cuadrícula se localizan aproximadamente Madrid y Sierra Nevada?
- b) ¿Qué elemento se encuentra aproximadamente en la casilla B2? ¿Y cuál ocupa la zona G2?
- c) Si partes de Madrid, ¿en qué dirección general tendrías que desplazarte para llegar a Sevilla? ¿Y para llegar a los Pirineos?
- d) Mide con una regla la distancia aproximada entre Madrid y Sierra Nevada en el dibujo y utiliza la escala gráfica para estimar la distancia real.
Crea en tu cuaderno un mapa propio inspirado en el ejercicio anterior. Puede representar una isla imaginaria, un parque natural, una ciudad o una comarca.
- a) Dibuja una cuadrícula de 8 columnas y 6 filas. Nombra las columnas de A a H y las filas del 1 al 6.
- b) Dibuja el contorno de tu territorio y sitúa al menos seis elementos diferentes: poblaciones, ríos, montes, carreteras, puertos, monumentos u otros lugares de interés.
- c) Añade una escala gráfica en la parte inferior derecha e indica cuántos kilómetros representa cada segmento.
- d) Escribe cuatro preguntas para que un compañero interprete tu mapa utilizando las casillas de la cuadrícula, las direcciones y la escala.
Ejes cartesianos y cuadrantes
El sistema de coordenadas cartesianas
- Eje X o de abscisas: recta horizontal.
- Eje Y o de ordenadas: recta vertical.
- Origen O(0, 0): punto en el que se cruzan los dos ejes.
- Coordenadas (x, y): indican primero la posición horizontal y después la vertical.
Plano cartesiano y sus cuadrantes
Ejemplo de localización de puntos
Escribe las coordenadas cartesianas (x, y) de los siguientes puntos e indica en qué cuadrante se sitúan:
- a) Punto A: 4 unidades a la derecha del origen y 5 unidades hacia arriba.
- b) Punto B: 3 unidades a la izquierda del origen y 2 unidades hacia arriba.
- c) Punto C: 6 unidades a la izquierda del origen y 4 unidades hacia abajo.
- d) Punto D: 5 unidades a la derecha del origen y 3 unidades hacia abajo.
Dibuja unos ejes cartesianos en papel cuadriculado y representa los siguientes puntos. Indica el cuadrante al que pertenece cada uno:
- a) A(2, 6)
- b) B(-4, 3)
- c) C(-5, -2)
- d) D(3, -4)
Dados los puntos A(1, 2), B(5, 2), C(5, 6) y D(1, 6):
- a) Representa los cuatro puntos en un plano cartesiano y únelos en orden alfabético cerrado.
- b) ¿Qué figura geométrica plana se obtiene?
- c) ¿En qué cuadrante se encuentra completamente ubicada esta figura?
Un barco pesquero parte del puerto ubicado en el origen O(0, 0). Se desplaza 4 unidades a la izquierda y 6 hacia arriba hasta un punto A. Luego se desplaza 7 unidades a la derecha y 8 hacia abajo hasta el punto B.
- a) Calcula las coordenadas de la posición final B.
- b) Indica en qué cuadrante se encuentra el barco en su posición final B.
Determina las coordenadas del vértice D que falta para completar un rectángulo cuyos tres primeros vértices son A(-3, 1), B(2, 1) y C(2, 5). Dibuja la figura en el plano cartesiano.
Analiza las siguientes coordenadas sin dibujarlas y determina el cuadrante basándote en sus signos:
- a) A(-12, 45)
- b) B(34, -18)
- c) C(-8, -50)
- d) D(15, 20)
Ángulos, medición y transformaciones geométricas
Los ángulos y su medición
Un ángulo es la región comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común llamado vértice. Se mide en grados sexagesimales con un transportador.
Dos ángulos son complementarios cuando suman 90° y suplementarios cuando suman 180°.
Clasificación visual de los ángulos
Clasifica los siguientes ángulos:
- a) 45°
- b) 90°
- c) 135°
- d) 180°
Utiliza el transportador para dibujar e indicar el tipo:
- a) 30°
- b) 75°
- c) 120°
- d) 150°
Observa las agujas de un reloj y calcula el ángulo exacto:
- a) 3:00
- b) 1:00
- c) 4:00
- d) 6:00
Calcula el ángulo que falta:
- a) Complementario de 35°.
- b) Complementario de 60°.
- c) Suplementario de 110°.
- d) Suplementario de 45°.
Transformaciones geométricas sencillas
- Traslación: desplaza una figura sin modificar su forma ni tamaño.
- Giro: rota una figura alrededor de un punto fijo.
- Simetría axial: refleja una figura respecto a un eje.
- Semejanza: conserva la forma, pero cambia proporcionalmente el tamaño.
Traslación, giro, simetría y semejanza
Dibuja un triángulo y realiza las traslaciones:
- a) Trasládalo 4 cm a la derecha.
- b) Trasládalo 3 cm hacia arriba.
- c) ¿Ha cambiado el tamaño o la forma del triángulo?
Dibuja un cuadrado de 5 cm de lado:
- a) Dibuja el cuadrado girado a la derecha.
- b) Dibuja el cuadrado girado a la izquierda.
Dibuja un eje de simetría y completa figuras simétricas:
- a) Un corazón.
- b) Una estrella.
- c) Una mariposa.
Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm:
- a) Dibuja otro semejante con lados del doble.
- b) ¿Tienen la misma forma?
- c) ¿Son iguales sus ángulos?
- d) ¿Qué relación hay entre los lados?
Indica qué transformación se ha aplicado:
- a) Una figura girada 180° alrededor de un punto.
- b) Una figura igual pero más grande.
- c) Una figura que se ha movido hacia la derecha.
- d) Una figura reflejada como en un espejo.
Completa cada cenefa dibujando, al otro lado del eje, la parte que falta para que el diseño sea simétrico.
a) Corazón
b) Casa
c) Mariposa
d) Gato
Sumas y restas de ángulos
Para medir ángulos con mayor precisión utilizamos el sistema sexagesimal: 1 grado (°) = 60 minutos (′) y 1 minuto (′) = 60 segundos (″).
35° 48′ 40″ + 22° 25′ 35″
= 57° 73′ 75″ = 58° 14′ 15″
72° 15′ 20″ − 38° 42′ 45″
Resultado: 33° 32′ 35″
Calcula las siguientes sumas de ángulos:
- a) 25° 18′ + 14° 27′
- b) 38° 45′ + 27° 35′
- c) 42° 36′ 28″ + 19° 35′ 47″
- d) 75° 52′ 55″ + 28° 18′ 36″
Calcula las siguientes restas de ángulos:
- a) 68° 40′ − 24° 15′
- b) 90° − 37° 28′
- c) 74° 12′ 20″ − 35° 48′ 45″
- d) 120° 5′ 10″ − 58° 37′ 52″
Calcula el ángulo que falta:
- a) 32° 25′ + ___ = 90°
- b) 118° 40′ + ___ = 180°
- c) 45° 18′ 30″ + ___ = 100°
- d) ___ − 26° 37′ = 52° 15′
Resuelve las situaciones:
- a) Dos giros consecutivos miden 38° 25′ y 46° 50′. ¿Cuánto se ha girado en total?
- b) De un ángulo llano se ha recorrido 127° 35′. ¿Qué ángulo queda?
- c) Un robot gira 25° 40′, luego 18° 55′ y después 32° 30′. Calcula el giro total.
- d) Una abertura de 135° se reduce en 47° 38′ 20″. Calcula la nueva abertura.
Bisectriz de un ángulo y mediatriz de un segmento
La bisectriz es la semirrecta que divide un ángulo en dos ángulos iguales. Cualquier punto situado sobre ella está a la misma distancia de los dos lados del ángulo.
La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Cualquier punto de la mediatriz está a la misma distancia de los dos extremos del segmento.
Responde sobre la bisectriz:
- a) ¿En cuántos ángulos divide al ángulo original?
- b) ¿Cuánto mide cada parte de un ángulo de 84°?
- c) ¿Cuánto mide cada parte de un ángulo de 135°?
- d) Dibuja la bisectriz de un ángulo de 70°.
Responde sobre la mediatriz:
- a) ¿Por qué punto del segmento debe pasar?
- b) ¿Qué ángulo forma con el segmento?
- c) Si AB mide 12 cm, ¿a qué distancia de A y B está su punto medio?
- d) Dibuja la mediatriz de un segmento de 6 cm.
Construye con regla y compás:
- a) La bisectriz de un ángulo de 60°.
- b) La bisectriz de un ángulo de 110°.
- c) La mediatriz de un segmento de 8 cm.
- d) La mediatriz de un segmento de 11 cm.
Elige bisectriz o mediatriz en cada situación:
- a) Dividir exactamente en dos partes un ángulo de una parcela.
- b) Colocar una fuente a igual distancia de dos puertas A y B.
- c) Trazar la dirección que queda exactamente a mitad entre dos calles que forman un ángulo.
- d) Localizar puntos que estén a la misma distancia de los extremos de un puente.
Elementos geométricos básicos: puntos, líneas y curvas
Definición de elementos fundamentales
- Punto: lugar exacto representado mediante una marca y una letra.
- Recta: línea sin principio ni fin.
- Semirrecta: tiene un origen, pero no tiene final.
- Segmento: está limitado por dos puntos extremos.
- Rectas paralelas: nunca se cortan.
- Rectas secantes: se cortan en un punto.
- Rectas perpendiculares: se cortan formando cuatro ángulos rectos.
Puntos, rectas, semirrectas, segmentos y curvas
Identifica el elemento geométrico:
- a) Una línea recta que tiene un origen en P pero no tiene final.
- b) Un trozo de recta delimitado entre A y B.
- c) Una línea sin principio ni fin que pasa por dos puntos.
- d) Dos rectas que se cruzan formando cuatro ángulos rectos.
Dibuja en tu cuaderno empleando regla:
- a) Dos rectas paralelas r y s separadas 3 cm.
- b) Dos rectas secantes que se corten en O.
- c) Un segmento AB de 6 cm.
Traza tres puntos A, B y C:
- a) Dibuja todas las rectas posibles que pasen por dos de esos puntos. ¿Cuántas obtienes?
- b) Une A, B y C mediante segmentos consecutivos cerrados. ¿Qué figura se forma?
Indica si las calles descritas son paralelas, secantes o perpendiculares:
- a) Dos calles rectas que avanzan en la misma dirección y nunca se cruzan.
- b) Un cruce en forma de cruz perfecta creando cuatro esquinas iguales.
- c) Dos calles que se unen formando una esquina en diagonal.
Figuras de dos dimensiones
Polígonos y sus elementos
Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectos. Sus elementos principales son lados, vértices, ángulos y diagonales. Es regular cuando todos sus lados y ángulos son iguales.
3: triángulo · 4: cuadrilátero · 5: pentágono · 6: hexágono · 7: heptágono · 8: octógono · 9: eneágono · 10: decágono.
Elementos de un polígono
Clasificación de triángulos
Completa los datos de los polígonos regulares:
- a) Lados, vértices y ángulos de un pentágono regular.
- b) Lados, vértices y ángulos de un octógono regular.
- c) Lados, vértices y ángulos de un decágono regular.
Dibuja un hexágono regular y señala con rojo los vértices, azul los lados, verde los ángulos interiores y dos diagonales con línea discontinua.
Clasifica los polígonos e indica si son regulares o irregulares:
- a) Polígono de 3 lados de diferente medida.
- b) Polígono de 6 lados iguales y ángulos de 120°.
- c) Polígono de 4 lados donde dos miden 8 cm y dos miden 5 cm.
- d) Polígono de 8 lados iguales y 8 ángulos iguales.
Determina si las afirmaciones son verdaderas o falsas:
- a) Un triángulo es un polígono que no tiene ninguna diagonal.
- b) Un cuadrado es un cuadrilátero irregular porque sus lados forman ángulos de 90°.
- c) Un polígono regular de 5 lados se llama pentágono regular.
Tipos de triángulos
Según sus lados, los triángulos pueden ser equiláteros, isósceles o escalenos. Según sus ángulos, pueden ser acutángulos, rectángulos u obtusángulos. La suma de sus tres ángulos interiores siempre es 180°.
Clasifica según lados y ángulos:
- a) Lados 5, 5 y 8 cm, y un ángulo de 110°.
- b) Tres lados de 6 cm y tres ángulos de 60°.
- c) Lados de 3, 4 y 5 cm, y un ángulo de 90°.
- d) Lados de 7, 8 y 9 cm, y tres ángulos agudos.
Calcula el ángulo que falta:
- a) Triángulo con ángulos 45° y 65°.
- b) Triángulo rectángulo con un ángulo agudo de 38°.
- c) Triángulo isósceles con ángulo obtuso de 120° en el vértice superior; calcula cada uno de los otros dos.
Dibuja con regla:
- a) Triángulo rectángulo con base de 4 cm y altura de 3 cm.
- b) Triángulo equilátero de 5 cm de lado.
Responde verdadero o falso justificando:
- a) Un triángulo equilátero siempre tiene tres ángulos de 60°, por lo que es acutángulo.
- b) Un triángulo rectángulo puede tener dos ángulos rectos de 90°.
Medianas, alturas y centros notables de un triángulo
Una mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Una altura parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.
- Baricentro: punto donde se cortan las tres medianas.
- Ortocentro: punto donde se cortan las tres alturas.
- Circuncentro: punto donde se cortan las tres mediatrices.
- Incentro: punto donde se cortan las tres bisectrices.
Relaciona cada línea notable con su descripción:
- a) Une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
- b) Parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
- c) Es perpendicular a un lado por su punto medio.
- d) Divide un ángulo del triángulo en dos partes iguales.
Relaciona cada centro con las rectas que lo determinan:
- a) Baricentro.
- b) Ortocentro.
- c) Circuncentro.
- d) Incentro.
Dibuja un triángulo escaleno y realiza:
- a) Dos medianas y señala el baricentro.
- b) Dos alturas y señala el ortocentro.
- c) Dos mediatrices y señala el circuncentro.
- d) Dos bisectrices y señala el incentro.
Razona qué centro utilizarías:
- a) Para localizar el centro de una circunferencia que pase por los tres vértices.
- b) Para encontrar el centro de una circunferencia tangente a los tres lados.
- c) Para buscar el punto de equilibrio de una lámina triangular.
- d) Para localizar el punto donde se cortan las alturas.
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras se aplica solo a los triángulos rectángulos. Los lados que forman el ángulo recto son los catetos y el lado opuesto, que es el más largo, es la hipotenusa.
Si llamamos a y b a los catetos y c a la hipotenusa, se cumple: a² + b² = c².
Aplica el teorema de Pitágoras:
- a) Catetos de 6 cm y 8 cm. Calcula la hipotenusa.
- b) Catetos de 5 cm y 12 cm. Calcula la hipotenusa.
- c) Hipotenusa de 10 cm y un cateto de 6 cm. Calcula el otro cateto.
- d) Hipotenusa de 13 cm y un cateto de 5 cm. Calcula el otro cateto.
Resuelve:
- a) Una escalera llega a una ventana situada a 8 m de altura y su base está a 6 m de la pared. ¿Cuánto mide la escalera?
- b) Un rectángulo mide 9 cm por 12 cm. ¿Cuánto mide su diagonal?
- c) Una cometa está a 12 m de altura y el niño está a 5 m en horizontal del punto bajo ella. Calcula la longitud aproximada del hilo tenso.
- d) Un cable de 17 m une la parte superior de un poste con un punto del suelo a 8 m del pie. Calcula la altura del poste.
Cuadriláteros, circunferencia y círculo
Los paralelogramos tienen dos pares de lados opuestos paralelos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide. El trapecio tiene un solo par de lados paralelos y el trapezoide no tiene ninguno.
La circunferencia es la línea curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia del centro. El círculo incluye la circunferencia y la superficie interior. Utilizamos normalmente π ≈ 3,14.
Clasificación de cuadriláteros
Circunferencia y círculo
Clasifica los cuadriláteros:
- a) Cuatro lados iguales de 6 cm y ángulos 60°, 120°, 60° y 120°.
- b) Dos lados paralelos de 10 cm y 6 cm, y dos no paralelos.
- c) Lados opuestos iguales de 12 cm y 7 cm y cuatro ángulos rectos.
- d) Cuatro lados desiguales sin ningún par de lados paralelos.
Calcula los ángulos desconocidos:
- a) Un romboide que tiene un ángulo de 50°.
- b) Un rombo que tiene un ángulo obtuso de 130°.
Indica en cuál las diagonales son iguales y perpendiculares entre sí:
- a) Cuadrado.
- b) Rectángulo.
- c) Rombo.
Dibuja:
- a) Un trapecio con lados paralelos de 8 cm y 5 cm.
- b) Un rombo cuyas diagonales midan 6 cm y 4 cm.
Calcula la longitud de la circunferencia:
- a) Radio de 5 cm.
- b) Diámetro de 10 cm.
- c) Rueda de bicicleta infantil de 20 cm de radio.
Dibuja con compás una circunferencia de 4 cm de radio y traza el centro O, un radio, un diámetro, una cuerda y un arco usando distintos colores.
Indica si las rectas son exteriores, tangentes o secantes:
- a) Recta a 8 cm del centro de una circunferencia de radio 5 cm.
- b) Recta a 5 cm del centro de una circunferencia de radio 5 cm.
- c) Recta que atraviesa una circunferencia a 2 cm de su centro.
Completa:
- a) El segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro se llama ___.
- b) La figura plana que comprende la circunferencia y su interior es el ___.
- c) Si un radio mide 6 cm, el diámetro mide ___ cm.
Cuerpos geométricos tridimensionales
Poliedros y cuerpos redondos
Los poliedros están limitados por caras planas y tienen caras, aristas y vértices. Los prismas poseen dos bases iguales y paralelas; las pirámides tienen una base y caras laterales triangulares.
Los cuerpos redondos tienen al menos una superficie curva. Los principales son el cilindro, el cono y la esfera.
Prismas y pirámides
Cuerpos redondos
8.6.1 Ejercicios de poliedros
Cuenta caras, vértices y aristas:
- a) Prisma cuadrangular.
- b) Pirámide cuadrangular.
- c) Prisma triangular.
- d) Pirámide pentagonal.
Identifica el poliedro:
- a) 2 bases octogonales y 8 caras laterales rectangulares.
- b) 1 base hexagonal y 6 caras laterales triangulares.
- c) Poliedro regular compuesto por 6 caras que son cuadrados iguales.
- d) Poliedro regular compuesto por 12 caras que son pentágonos regulares.
Clasifica los 5 poliedros regulares indicando el número de caras que tiene cada uno y la forma del polígono de sus caras.
Dibuja:
- a) Un prisma cuadrangular de base 3 cm × 3 cm y altura 6 cm.
- b) Una pirámide cuadrangular señalando su base y su cúspide.
Si cortamos una barra de pan con forma de prisma recto mediante 4 cortes rectos e independientes paralelos a la base, ¿cuántos prismas más pequeños obtenemos?
8.6.2 Ejercicios de cuerpos redondos
Identifica qué cuerpo redondo se genera:
- a) Un rectángulo que gira sobre uno de sus lados.
- b) Un triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos.
- c) Un semicírculo que gira sobre su diámetro.
Compara un cilindro y un cono. Escribe dos semejanzas y dos diferencias.
Nombra los elementos de la esfera:
- a) La línea imaginaria circular que divide la esfera en dos hemisferios.
- b) El segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie exterior.
Relaciona cada objeto con su cuerpo redondo:
- a) Una lata cilíndrica de conservas de melocotón.
- b) Un cucurucho de helado en Granada.
- c) Una naranja de las huertas del Guadalquivir.
- d) Un bidón de agua para el riego.
Perímetros y áreas de figuras planas
Fórmulas fundamentales
El perímetro es la suma de todos los lados de una figura. El área mide la superficie interior y se expresa en unidades cuadradas.
Calcula el perímetro:
- a) Octógono regular de 6,5 cm de lado.
- b) Triángulo isósceles con dos lados de 8,4 cm y un lado de 5,2 cm.
- c) Romboide de base 12,5 cm y lado inclinado 7,8 cm.
- d) Decágono regular de 4,2 cm de lado.
Una parcela rectangular tiene un perímetro de 360 m. Si la base mide 110 m, ¿cuánto mide la altura?
Calcula el área de una plaza cuadrada cuyo lado mide 24 m.
Un paño de azulejos rectangulares mide 3 m de largo y 2 m de alto. Calcula su superficie.
El frontal triangular de una ermita tiene base 8 m y altura 5 m. Halla su área.
Una vidriera en forma de rombo tiene diagonales de 2,4 m y 1,5 m. ¿Cuál es su superficie?
Un patio en forma de romboide tiene base 9 m y altura 6 m. Calcula su área.
Un terreno de fresas en Almonte tiene forma de trapecio con bases 120 m y 80 m y altura 40 m. Calcula su superficie.
Un cenador pentagonal regular tiene lado 6 m y apotema 4,1 m. Calcula el área.
Una fuente circular de Jaén tiene radio 4 m. Calcula su superficie usando π = 3,14.
Una figura está formada por un rectángulo de 10 cm × 6 cm y un triángulo apoyado de base 10 cm y altura 4 cm. Calcula el área total.
Un tablero cuadrado de 20 cm de lado tiene recortado en el centro un círculo de 5 cm de radio. Calcula la superficie de madera sobrante.
Problemas y desafíos
🧮 Parte A: Problemas y ejercicios de repaso
Resuelve respetando la jerarquía:
(4,2 + 1,8) : 2 + 3,5 × 4 − 10
Un terreno rectangular de 120 m de largo y 80 m de ancho se divide en 4 parcelas rectangulares iguales. Calcula el área de cada parcela.
De un depósito de agua de 1,2 kilolitros de capacidad se han consumido 35 partes para el riego. ¿Cuántos litros quedan?
En una encuesta a 200 turistas en Ronda, el 45 % eligió el Puente Nuevo, el 30 % la Colegiata de Santa María y el resto la Plaza de Toros. Calcula cuántos turistas prefirieron cada monumento.
Un camión cisterna transporta 15 toneladas de aceite de oliva. Si la masa del camión vacío es de 6 500 kg, calcula la masa neta del aceite expresada en kilogramos.
Un polígono regular tiene perímetro 48 cm y cada lado mide 6 cm. ¿Cuántos lados tiene y cómo se llama?
Realiza y simplifica:
(56 + 16) × (85 − 35)
Un atleta corre alrededor de un parque circular de 50 m de radio. Si da 10 vueltas, ¿cuántos metros recorre? Usa π = 3,14.
Un prisma rectangular de base 8 cm por 5 cm tiene altura 10 cm. Calcula su volumen.
Se colocan cajas cúbicas de 10 cm de lado dentro de una caja de 40 × 30 × 20 cm. ¿Cuántas cajas pequeñas caben?
En un mapa cuadriculado, el refugio está en C4, el lago en F2 y el mirador en G5. Cada lado de una casilla representa 2 km.
- a) Describe el desplazamiento aproximado desde el refugio hasta el lago.
- b) ¿Qué elemento está más al norte?
- c) ¿Qué elemento está más al este?
- d) Dibuja el mapa y crea una escala gráfica adecuada.
En el diseño de una plaza se suman dos giros de 48° 35′ y 76° 50′. Calcula el giro total y el ángulo que faltaría para completar 180°.
En un terreno triangular se quiere situar un depósito a la misma distancia de los tres vértices y una fuente interior a la misma distancia de los tres lados.
- a) ¿Qué centro notable debe usarse para situar el depósito?
- b) ¿Qué rectas deben trazarse para obtenerlo?
- c) ¿Qué centro debe usarse para la fuente?
- d) ¿Qué rectas deben trazarse para localizarlo?
Una rampa forma un triángulo rectángulo: salva una altura de 1,5 m y ocupa 2 m en horizontal. Calcula mediante Pitágoras la longitud de la rampa.
🌟 Parte B: Desafíos competenciales
Desafío 1: El Plano de la Alhambra y los Jardines del Generalife
Un equipo de arquitectos e historiadores trabaja en la restauración de un sector de los jardines del Generalife en la Alhambra de Granada. Disponen de un plano detallado a escala 1:500, donde 1 cm del plano equivale a 500 cm = 5 metros en la realidad.
- Un parterre rectangular dedicado a los naranjos con dimensiones reales de 15 m × 10 m.
- Una fuente circular central de 2 m de radio.
1. Trabajo sobre el plano y escala:
- a) Calcula las dimensiones en centímetros que tendrá el parterre rectangular dibujado a escala 1:500.
- b) ¿Qué área en cm² ocupará dicho parterre en el papel del plano?
2. Áreas y costes de embaldosado real:
- a) Calcula el área real en metros cuadrados ocupada por el parterre rectangular de los naranjos.
- b) Si el metro cuadrado de losa de barro cocido cuesta 35 €, calcula el coste total del material.
Desafío 2: Restauración de Mosaicos Romanos en Itálica
En el Conjunto Arqueológico de Itálica (Santiponce, Sevilla), los restauradores analizan un mosaico romano compuesto por la repetición de figuras poligonales.
- Octógonos regulares de 10 cm de lado y 12 cm de apotema.
- Cuadrados de 10 cm de lado que rellenan los espacios entre octógonos.
1. Análisis geométrico del octógono:
- a) Calcula el perímetro de uno de los octógonos regulares del mosaico.
- b) Calcula el área de uno de los octógonos aplicando A = (Perímetro × apotema) / 2.
2. Estudio de materiales:
- a) Calcula el área de uno de los cuadrados pequeños de enlace.
- b) Si un panel está formado por 10 octógonos y 8 cuadrados, calcula la superficie total en cm².
Desafío 3: Diseño de Cajas de Polvorones Tradicionales de Estepa
Una fábrica artesanal de dulces en Estepa (Sevilla) diseña dos modelos de cajas promocionales para sus polvorones:
- Modelo A: prisma hexagonal, base de 8 cm de lado, apotema 6,9 cm y altura 15 cm.
- Modelo B: cilindro, base circular de 8 cm de radio y altura 15 cm.
1. Análisis del Modelo A:
- a) Calcula el perímetro de la base hexagonal, que tiene 6 lados de 8 cm.
- b) Calcula el área de una base aplicando A = (Perímetro × apotema) / 2.
2. Análisis del Modelo B:
- a) Calcula el área de una base circular aplicando A = π × radio², con π = 3,14.
- b) Compara el área de la base del Modelo A con la del Modelo B e indica cuál es mayor.
Desafío 4: Diseño de una ruta de orientación y un mirador triangular
Un parque natural prepara una ruta educativa sobre un mapa cuadriculado de columnas A–H y filas 1–6. El centro de visitantes se sitúa en B5, el mirador en F2 y una fuente en E4. La escala indica que 1 cm del mapa representa 1,5 km reales. Junto al mirador se construirá una plataforma triangular rectángula cuyos catetos miden 9 m y 12 m.
- a) Dibuja una cuadrícula de referencia y sitúa los tres lugares. Describe el desplazamiento general desde B5 hasta F2.
- b) Si en el mapa el camino directo B5–F2 mide 6,4 cm, calcula la distancia real.
- c) Calcula la longitud del lado mayor de la plataforma aplicando el teorema de Pitágoras.
- d) En la plataforma se trazan las tres medianas. ¿Qué punto notable se obtiene y qué significado puede tener para equilibrar una escultura?
- e) Dos senderos forman un ángulo de 86° 40′. Se quiere trazar un camino exactamente a mitad. ¿Qué construcción geométrica se necesita y cuánto medirá cada ángulo resultante?
Repasamos lo aprendido
Consolidación y ampliación de los contenidos de geometría
🟢 Ficha de Refuerzo
Repasa escalas y localización mediante cuadrículas:
- a) En una escala 1:100 000, ¿cuántos kilómetros representa 1 cm?
- b) Convierte 6,5 cm del mapa en distancia real.
- c) Dibuja una cuadrícula A–D y 1–4 y sitúa un punto en C2.
- d) Explica cómo utilizarías una escala gráfica para estimar la distancia entre dos puntos del mapa.
Localiza y analiza los puntos:
- a) Indica el cuadrante de A(4, 3).
- b) Indica el cuadrante de B(-5, 2).
- c) Representa C(-3, -4) y D(2, -5).
- d) Escribe las coordenadas del origen.
Consolida los contenidos fundamentales:
- a) Calcula 42° 35′ + 28° 40′.
- b) Calcula 90° − 37° 25′.
- c) Completa una figura simétrica respecto a un eje vertical y explica qué se conserva.
- d) Diferencia bisectriz y mediatriz indicando una propiedad de cada una.
Identifica los elementos:
- a) Diferencia recta, semirrecta y segmento.
- b) Dibuja dos rectas paralelas.
- c) Dibuja dos rectas perpendiculares.
- d) Pon un ejemplo de curva cerrada.
Repasa figuras y relaciones fundamentales:
- a) Clasifica un triángulo de lados 5 cm, 5 cm y 8 cm.
- b) Relaciona medianas, alturas, mediatrices y bisectrices con sus centros notables.
- c) Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 6 cm y 8 cm.
- d) Calcula la longitud de una circunferencia de diámetro 10 cm usando π = 3,14.
Reconoce cuerpos geométricos:
- a) Identifica un prisma triangular y sus dos bases.
- b) Indica caras, vértices y aristas de un cubo.
- c) Explica una diferencia entre cilindro y cono.
- d) Nombra dos elementos de una esfera.
Calcula:
- a) Perímetro de un cuadrado de lado 7 cm.
- b) Área de un rectángulo de 8 cm × 5 cm.
- c) Área de un triángulo de base 10 cm y altura 6 cm.
- d) Área de un círculo de radio 3 cm usando π = 3,14.
Resuelve un problema de varias etapas:
- a) Calcula el área de una parcela de 20 m × 15 m.
- b) Halla su perímetro.
- c) Representa la parcela a escala 1:500.
- d) Calcula el coste de vallarla a 12 € por metro.
🟠 Ficha de Ampliación
Diseña e interpreta un mapa:
- a) Dibuja una cuadrícula A–H y 1–6.
- b) Sitúa cinco elementos y crea una leyenda.
- c) Añade una escala gráfica en la que 2 cm representen 5 km.
- d) Formula y resuelve una pregunta de distancia entre dos elementos usando esa escala.
Construye una figura:
- a) Representa A(-4, 1), B(3, 1), C(3, 5) y D(-4, 5).
- b) Une los puntos.
- c) Identifica la figura.
- d) Calcula su perímetro en unidades.
Combina transformaciones y operaciones angulares:
- a) Dibuja una figura y realiza una traslación de 5 unidades a la derecha.
- b) Construye su simétrica respecto a un eje vertical.
- c) Calcula 68° 45′ + 37° 30′.
- d) Traza la bisectriz de un ángulo de 124° y calcula la medida de cada mitad.
Organiza tres rectas:
- a) Dibuja tres rectas: r, s y t.
- b) Haz que r y s sean paralelas.
- c) Haz que t sea perpendicular a ambas.
- d) Señala todos los puntos de corte.
Resuelve un reto de geometría del triángulo:
- a) Dibuja un triángulo y localiza aproximadamente baricentro y circuncentro.
- b) Explica qué rectas has utilizado en cada caso.
- c) Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 25 cm y un cateto 15 cm. Calcula el otro cateto.
- d) Calcula la longitud de una circunferencia de diámetro 18 cm usando π = 3,14.
Compara dos envases:
- a) Un prisma rectangular de 8 × 5 × 12 cm.
- b) Un cilindro de radio 4 cm y altura 12 cm.
- c) Indica qué datos necesitarías para comparar sus volúmenes.
- d) Explica cuál aprovecharía mejor una caja rectangular.
Calcula una superficie combinada:
- a) Rectángulo de 12 × 8 cm.
- b) Semicírculo de radio 4 cm unido a un lado.
- c) Calcula el área total.
- d) Calcula el perímetro exterior.
Diseña un jardín a escala:
- a) Rectángulo real de 30 × 20 m.
- b) Fuente circular de radio 3 m.
- c) Dibuja a escala 1:500.
- d) Calcula el área libre del jardín.
Diana de Autoevaluación Interactiva
Selecciona la opción que mejor representa tu aprendizaje