6. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Analiza situaciones de azar, calcula y compara probabilidades, organiza datos, obtiene medidas estadísticas y representa e interpreta la información mediante gráficos.
Probabilidad de sucesos
¿Qué es el azar y cómo clasificamos los sucesos?
En la vida cotidiana hay situaciones cuyo resultado no podemos predecir con certeza. Los acontecimientos que pueden ocurrir en un experimento aleatorio se llaman sucesos.
- Suceso seguro: ocurre siempre.
- Suceso posible o probable: puede ocurrir, pero no es seguro.
- Suceso imposible: no puede ocurrir nunca.
Clasifica cada uno de los siguientes sucesos en seguro, posible o imposible:
- a) Sacar una figura de oros al extraer una carta de una baraja española completa.
- b) Lanzar dos monedas y obtener al menos una cara.
- c) Tirar un dado de seis caras numeradas del 1 al 6 y obtener un número mayor que 8.
- d) Sacar una ficha de color verde o azul de una caja que solo contiene fichas verdes y azules.
Indica en cada caso si el suceso es muy probable, poco probable o equiprobable (misma probabilidad de que suceda o no):
- a) Sacar un premio en una tómbola escolar donde hay 72 boletos ganadores y 28 boletos en blanco.
- b) Sacar una bola azul de una urna con 3 bolas azules y 17 bolas rojas.
- c) Obtener cara al lanzar una moneda no trucada.
- d) Obtener un 6 dos veces seguidas al lanzar un dado equilibrado dos veces.
En una caseta de la Feria de Jerez hay una urna con 24 pañuelos flamencos: 11 son rojos, 8 son verdes y 5 son amarillos. Determina qué tipo de suceso es cada afirmación al extraer un pañuelo sin mirar:
- a) Sacar un pañuelo de color rojo.
- b) Sacar un pañuelo de color azul.
- c) Sacar un pañuelo que sea rojo, verde o amarillo.
- d) Sacar un pañuelo de color amarillo.
Determina la posibilidad de los siguientes sucesos al girar una ruleta dividida en 8 sectores iguales pintados de la siguiente forma: 6 sectores azules, 1 sector rojo y 1 sector blanco.
- a) Obtener el color azul.
- b) Obtener el color blanco.
- c) Obtener el color verde.
- d) Obtener un color que no sea negro.
Resuelve en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones con números decimales:
- a) 485,324 x 68,05
- b) 1 208,507 x 4,62
- c) 7 293,405 x 1,28
- d) 0,07635 x 28,96
Calcula el cociente de las siguientes divisiones con decimales:
- a) 73 585,5 : 8,7
- b) 15 424,854 : 0,85
- c) 45 567,586 : 0,05
- d) 15 345,75 : 0,29
Cálculo de probabilidades: la Regla de Laplace
¿Cómo calculamos la probabilidad de un suceso?
Cuando todos los resultados tienen la misma oportunidad de ocurrir, aplicamos la Regla de Laplace.
La probabilidad puede expresarse mediante una fracción, un número decimal o un porcentaje. Cuanto más se aproxima a 1 o al 100 %, más probable es el suceso.
Expresa en forma de fracción la probabilidad de obtener los siguientes resultados al lanzar un dado común de 6 caras:
- a) Obtener el número 4.
- b) Obtener un número par (2, 4 o 6).
- c) Obtener un número menor que 3 (1 o 2).
- d) Obtener un múltiplo de 5.
Una ruleta de la suerte en una fiesta infantil de Antequera está dividida en 12 sectores iguales numerados del 1 al 12. Calcula la probabilidad de:
- a) Sacar un número impar.
- b) Sacar un número mayor que 8.
- c) Sacar un número primo.
- d) Sacar un múltiplo de 4.
En una bolsa opaca hay 7 bolas rojas, 5 bolas verdes y 8 bolas azules. Se extrae una bola al azar.
- a) Calcula la probabilidad de extraer una bola roja.
- b) Calcula la probabilidad de extraer una bola verde.
- c) ¿Qué es más probable: extraer una bola azul o una bola que no sea azul? Compara ambas probabilidades como fracción, decimal y porcentaje.
De una baraja española de 40 cartas (1-7, sota, caballo y rey) se extrae una carta al azar. Halla la probabilidad de obtener:
- a) El 1.
- b) Una carta del palo de oros.
- c) Una figura (sota, caballo o rey).
- d) El rey de bastos.
Se analizan dos cajas de dulces de Écija para un sorteo:
- Caja A: contiene 7 yemas con azúcar y 13 yemas sin azúcar.
- Caja B: contiene 9 yemas con azúcar y 11 yemas sin azúcar.
- a) ¿En cuál de las dos cajas es más probable extraer a ciegas una yema con azúcar?
- b) Justifica la respuesta calculando la fracción y el número decimal de la probabilidad en cada caja.
En un colegio de Almería se sortean 4 bicicletas entre el alumnado de 5.º y 6.º de Primaria. Para cada bicicleta se realiza un sorteo independiente entre 480 papeletas.
- a) Si Lucía ha comprado 12 papeletas, ¿qué probabilidad tiene de resultar ganadora en uno de los sorteos? Exprésala como fracción irreducible, decimal y porcentaje.
- b) Si Pablo ha comprado 18 papeletas, compara ambas probabilidades y calcula cuántos puntos porcentuales de diferencia hay entre ellas.
Frecuencias y medidas de centralización y dispersión
Conceptos clave de estadística
| N.º de hermanos | Frecuencia absoluta | Frecuencia relativa |
|---|---|---|
| 0 | 3 | 3 20 = 0,15 = 15 % |
| 1 | 7 | 7 20 = 0,35 = 35 % |
| 2 | 6 | 6 20 = 0,30 = 30 % |
| 3 | 4 | 4 20 = 0,20 = 20 % |
Se realiza una encuesta a 20 estudiantes de Córdoba sobre su plato preferido y se obtienen los siguientes datos: Salmorejo (8), Flamenquín (6), Gazpacho (4), Tortilla (2).
- a) Construye una tabla indicando la frecuencia absoluta de cada plato.
- b) Calcula la frecuencia relativa en forma de fracción para cada opción.
- c) Comprueba que la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al total de encuestados.
Expresa en forma decimal las frecuencias relativas obtenidas al registrar el color de los ojos de 50 personas en una clínica de Granada:
- a) Ojos marrones: 25 personas.
- b) Ojos azules: 10 personas.
- c) Ojos verdes: 15 personas.
- d) Comprueba que la suma de las frecuencias relativas decimales es igual a 1.
En un entrenamiento del equipo de baloncesto de Linares se registran las tallas de calzado de 10 jugadores: 38, 39, 38, 40, 41, 39, 38, 40, 38, 39.
- a) Elabora la tabla de frecuencias absolutas para las distintas tallas.
- b) Determina qué fracción representa la frecuencia relativa de la talla 38.
Completa los datos que faltan en la siguiente tabla de frecuencias sobre las mascotas de 25 familias de un barrio de Huelva:
- a) Perro: Frecuencia absoluta = 12. Frecuencia relativa = ___ / 25 = ___ %
- b) Gato: Frecuencia absoluta = 8. Frecuencia relativa = ___ / 25 = ___ %
- c) Pájaro: Frecuencia absoluta = ___ . Frecuencia relativa = 5 25 = ___ %
- d) Escribe la frecuencia relativa decimal correspondiente a los gatos. Pásalo después a porcentaje.
Expresa en porcentaje (%) las siguientes frecuencias relativas decimales correspondientes al tipo de vehículo que entra en un aparcamiento de Sevilla:
- a) Turismos: 0,55
- b) Motocicletas: 0,25
- c) Bicicletas: 0,12
- d) Furgonetas: 0,08
Calcula la media aritmética de las notas obtenidas por cuatro alumnos de Málaga en la asignatura de Matemáticas durante el trimestre:
- a) 7,5; 8,25; 6,75; 9; 10.
- b) 4,5; 5,25; 3,75; 7; 8,5.
- c) 7,5; 10; 5,5; 8,25.
- d) 2,5; 5,5; 9; 6,25; 8,75; 7.
Halla la moda en cada una de las siguientes series de datos:
- a) Horas semanales de deporte: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7
- b) Temperatura máxima en grados Celsius: 21,5; 22; 22; 23,5; 24; 24; 24; 26
- c) Puntos conseguidos en un juego: 10, 15, 20, 20, 25, 25, 25, 30
Ordena de menor a mayor y calcula la mediana de las siguientes series de números:
- a) 12, 15, 11, 18, 14, 13, 17
- b) 5, 8, 2, 9, 6, 11
- c) 4, 10, 8, 6, 12, 14, 16, 18
- d) 2,5; 3,75; 4; 5,25; 6,5; 7
Obtén el rango de los siguientes conjuntos de datos medidos en Andalucía:
- a) Alturas en metros de cinco palmeras en el Parque María Luisa: 12, 18, 15, 22, 10
- b) Precipitaciones en litros recopiladas en Grazalema en cuatro días: 45, 120, 85, 30
- c) Edades de los miembros de una agrupación musical: 12, 45, 18, 60, 25, 34
Un grupo de 7 atletas andaluces ha registrado los siguientes pesos en kilogramos: 62,5; 58; 65,5; 62,5; 70; 62,5; 63,5; 66. Calcula:
- a) La media aritmética del peso del grupo.
- b) La moda de los pesos.
- c) La mediana.
- d) El rango de la distribución.
En una almazara de Jaén se miden los litros de aceite producidos por hora durante un turno de trabajo: 450, 500, 480, 520, 500.
- a) Calcula la media de litros producidos por hora.
- b) Determina la mediana.
- c) Indica la moda.
- d) Calcula el rango de producción.
Las faltas de asistencia registradas en un colegio durante una semana fueron: Lunes (4), Martes (2), Miércoles (2), Jueves (5), Viernes (7).
- a) Halla la media de faltas de asistencia al día.
- b) Determina la mediana de las faltas observadas.
- c) Halla la moda, si existe.
- d) Calcula el rango semanal.
Se mide el tiempo en minutos que tardan 8 estudiantes de Úbeda en llegar al colegio: 10, 15, 12, 20, 8, 12, 14 y 9. Calcula la media, la moda, la mediana y el rango.
Dada la serie de datos de temperaturas registradas en Sierra Nevada (1, 3, 2, 5, 4):
- a) Calcula la media aritmética.
- b) Si al día siguiente se registra una temperatura extraordinaria de 15 grados, vuelve a calcular la media y explica qué le ha ocurrido al resultado.
Se registran las ventas diarias de kg de fresas en una frutería de Moguer durante seis días: 40, 50, 45, 50, 60, 55. Calcula la media, la moda, la mediana y el rango de las ventas.
Representación gráfica de datos estadísticos
Diagrama de puntos
Representa cada dato mediante un punto sobre una recta numérica.
Gráfico de líneas
Une puntos mediante segmentos para mostrar la evolución de una variable.
Diagrama de barras
Emplea barras cuya altura es proporcional a la frecuencia.
Gráfico de sectores
Divide un círculo en sectores proporcionales al porcentaje del total.
Histograma
Representa frecuencias de datos agrupados en intervalos continuos, sin separación entre las barras.
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Observa el vídeo y aprende más sobre los gráficos estadísticos.
En un diagrama de puntos se han anotado los libros leídos por un grupo de alumnos durante el verano:
- 0 libros: 2 puntos.
- 1 libro: 5 puntos.
- 2 libros: 8 puntos.
- 3 libros: 3 puntos.
- a) ¿Cuántos alumnos leyeron exactamente 2 libros?
- b) Calcula la frecuencia relativa de quienes leyeron 2 libros y exprésala en porcentaje.
- c) Dibuja el diagrama de puntos y señala la moda.
Un gráfico de líneas muestra la evolución de la temperatura en una estación meteorológica de Granada a lo largo de un día: 8:00 (5 °C), 12:00 (15 °C), 16:00 (22 °C), 20:00 (14 °C).
- a) ¿En qué tramo horario se produjo el mayor aumento de temperatura?
- b) Calcula el descenso de temperatura entre las 16:00 y las 20:00.
- c) Dibuja el diagrama de líneas y calcula la temperatura media de las cuatro observaciones.
Observa los datos de un diagrama de barras sobre los medios de transporte utilizados por los escolares de Cádiz: Autobús (120), A pie (180), Bicicleta (60), Coche particular (40).
- a) ¿Cuál es el medio de transporte más utilizado?
- b) Calcula qué porcentaje del total va a pie.
- c) Dibuja el diagrama de barras y rotula correctamente ambos ejes.
En un gráfico de sectores sobre la superficie dedicada a distintos cultivos en la comarca de la Axarquía, el 50 % del círculo corresponde a aguacates, el 25 % a mangos, el 15 % a cítricos y el 10 % a hortalizas.
- a) ¿Qué cultivo ocupa exactamente la mitad del gráfico?
- b) Si la finca total mide 360 hectáreas, calcula las hectáreas dedicadas a cada cultivo.
- c) Calcula los grados de cada sector y dibuja el diagrama de sectores.
Un histograma representa las edades de los asistentes a un taller de artesanía en Ronda organizados en intervalos: De 10 a 20 años (8 personas), De 20 a 30 años (15 personas), De 30 a 40 años (12 personas), De 40 a 50 años (5 personas).
- a) ¿Qué grupo de edad es el más numeroso?
- b) Calcula qué porcentaje de asistentes tiene menos de 30 años.
- c) Dibuja el histograma y explica por qué las barras deben aparecer unidas.
Dibuja en tu cuaderno un diagrama de barras vertical con los datos de las frutas preferidas por los alumnos de una clase: Manzana (6), Plátano (10), Fresa (8), Naranja (4). Recuerda rotular los ejes y dar un título al gráfico.
Elabora un gráfico de líneas que represente las ventas semanales de botellas de aceite de oliva en una tienda de productos locales: Semana 1 (100 botellas), Semana 2 (150 botellas), Semana 3 (120 botellas), Semana 4 (200 botellas).
En un partido de entrenamiento, el entrenador de baloncesto anota los encestes de tres puntos logrados por cada jugador mediante un diagrama de puntos: Jugador A (3), Jugador B (5), Jugador C (1), Jugador D (5), Jugador E (2).
- a) ¿Qué valor representa la moda de los aciertos en el diagrama de puntos?
- b) Dibuja el diagrama de puntos equivalente en tu cuaderno.
Un gráfico combinado compara las precipitaciones medias mensuales en milímetros entre dos ciudades andaluzas (Sevilla y Jaén) durante el otoño:
- Sevilla: Octubre (60 mm), Noviembre (80 mm), Diciembre (90 mm).
- Jaén: Octubre (70 mm), Noviembre (85 mm), Diciembre (100 mm).
- a) ¿En qué ciudad llovió más durante el mes de diciembre?
- b) Calcula la precipitación media mensual acumulada en Jaén durante esos tres meses.
Problemas y Desafíos
🧮 Parte A: Operaciones y problemas de repaso
Resuelve la siguiente operación combinada con potencias y números decimales respetando la jerarquía:
- (4,75 + 3,25) 2 : 10 + 6,4 x 2,5
En un depósito de agua de una comunidad de regantes en Almería hay 2 400,75 litros. Por la mañana se consumen 2 5 del total para el riego por goteo. ¿Cuántos litros de agua quedan en el depósito?
Un comerciante compra 240 cajas de tortas de aceite de Castilleja de la Cuesta por un importe total de 1 056,00 €. Si vende cada caja a 6,25 €, ¿cuál es el beneficio total obtenido por la venta de todas las cajas?
Las toneladas de trigo cosechadas en cinco parcelas de la campiña cordobesa han sido: 12,45 t; 15,875 t; 10,2 t; 14,625 t; 17,05 t. Teniendo en cuenta que una tonelada (t) es igual a 1000 kg:
- a) Calcula la media de toneladas cosechadas por parcela.
- b) Halla el rango de la cosecha entre las distintas parcelas.
Se empaquetan 365,75 kg de harina de almortas en bolsas de 0,25 kg cada una. ¿Cuántas bolsas completas se llenarán?
De un mazo de 40 cartas españolas se extrae una carta.
- a) Calcula la probabilidad de extraer una figura expresada en forma de fracción irreducible.
- b) Convierte dicha fracción en número decimal y porcentaje, redondeando a dos decimales cuando sea necesario.
Realiza la siguiente operación combinada de fracciones y simplifica el resultado final:
- ( 5 12 + 4 12 ) - ( 2 12 + 1 12 )
Expresa 4 500 000 como producto de un número decimal por una potencia de base 10.
Un autobús escolar realiza cinco rutas diarias registrando las siguientes distancias en kilómetros: 12,5; 18; 15,5; 20; 15,5; 22; 15,5. Halla la moda y la mediana de los kilómetros recorridos.
María compra 4,75 kg de naranjas de Palma del Río a 1,65 €/kg y 2,5 kg de fresas a 3,20 €/kg. Paga con un billete de 20 €. ¿Cuánto dinero le devuelven?
🌟 Parte B: Desafíos estadísticos
Desafío 1: Estudio sobre los hábitos de desayuno saludable en el colegio
La comisión de salud del colegio organiza un estudio estadístico para analizar el consumo de frutas en el desayuno entre los 30 alumnos de la clase de 6.º de Primaria durante una semana escolar (de lunes a viernes).
Los datos recopilados sobre el número de días que cada alumno consume fruta en el desayuno son los siguientes:
3, 5, 2, 4, 5, 1, 0, 4, 3, 5, 2, 4, 5, 5, 3, 2, 4, 1, 5, 4, 3, 5, 2, 4, 5, 3, 4, 5, 1, 2
Fases del trabajo (a realizar en el cuaderno o mediante hoja de cálculo):
1. Organización y recuento de datos:
Construye en tu cuaderno o en una hoja de cálculo (LibreOffice o Google Sheets) una tabla de frecuencias completa que incluya:
- Variable estadística (Días de fruta: 0, 1, 2, 3, 4, 5).
- Frecuencia absoluta.
- Frecuencia relativa (en forma de fracción y decimal).
- Porcentaje (%).
2. Medidas estadísticas:
Calcula las principales medidas de centralización y dispersión de la distribución:
- Media aritmética: promedio de días que consumen fruta los alumnos de la clase.
- Moda: el valor de días más frecuente.
- Mediana: el valor central de la serie ordenada.
- Rango: la diferencia entre el número máximo y mínimo de días observados.
3. Representación gráfica:
Elabora un diagrama de barras (en papel pautado o insertando un gráfico en la hoja de cálculo) donde el eje horizontal represente los días de consumo de fruta y el eje vertical la frecuencia absoluta de alumnos.
4. Interpretación y conclusiones:
A partir de los resultados obtenidos, redacta un breve informe (2 o 3 líneas) evaluando si los hábitos de desayuno de la clase son saludables o si se debe proponer una campaña de fomento de la fruta en el recreo.
Desafío 2: Análisis del consumo de aceite de oliva en los hogares andaluces
Una asociación de consumidores realiza un muestreo sobre el volumen mensual de Aceite de Oliva Virgen Extra (AOVE) consumido por 20 familias de una comarca de Jaén. Los litros consumidos al mes por cada familia han sido:
4, 5, 3, 6, 4, 5, 5, 2, 4, 6, 5, 3, 4, 5, 7, 4, 5, 3, 6, 4
Fases del trabajo (a realizar en el cuaderno o mediante hoja de cálculo):
1. Organización de la información:
Elabora la tabla de frecuencias absolutas y relativas correspondiente a los litros de consumo mensual.
2. Cálculos estadísticos:
Calcula en tu cuaderno o utilizando las fórmulas automáticas de la hoja de cálculo:
- La media exacta de litros consumidos al mes por familia.
- La moda del consumo.
- La mediana.
- El rango de consumo entre la familia que más consume y la que menos.
3. Gráficos estadísticos comparativos:
- Crea un diagrama de puntos o de líneas para mostrar la distribución de los consumos.
- Diseña un gráfico de sectores agrupando las familias en tres categorías: Consumo bajo (1 a 3 litros), Consumo medio (4 a 5 litros) y Consumo alto (6 a 7 litros).
4. Análisis de costes (Integración operacional):
Si el litro de AOVE tiene un precio de 7,50 €:
- Calcula el gasto medio mensual por familia en aceite de oliva.
- ¿Cuál es el gasto total mensual conjunto de las 20 familias encuestadas? Exprésalo mediante una operación combinada.
Repasamos lo aprendido
Bloque de consolidación y repaso global de la Situación de Aprendizaje
🟢 Ficha de Refuerzo
Clasifica y justifica cada situación:
- a) Obtener un número menor que 7 al lanzar un dado.
- b) Obtener un 9 al lanzar un dado de seis caras.
- c) Sacar una bola roja de una bolsa con 14 rojas y 6 azules.
- d) Obtener cara al lanzar una moneda equilibrada.
Calcula las probabilidades en forma de fracción, decimal y porcentaje:
- a) Sacar un número par al lanzar un dado.
- b) Sacar una bola verde de una bolsa con 7 verdes y 13 rojas.
- c) Extraer un as de una baraja española de 40 cartas.
- d) Obtener cara al lanzar una moneda.
Utiliza la serie 4,5; 6; 6; 7,5; 9; 11:
- a) Calcula la media.
- b) Determina la moda.
- c) Halla la mediana.
- d) Calcula el rango.
Elige el gráfico más adecuado para cada situación:
- a) Evolución mensual de la temperatura.
- b) Reparto porcentual de cultivos.
- c) Número de alumnos por deporte favorito y su frecuencia.
- d) Edades agrupadas en intervalos.
Resuelve las siguientes actividades:
- a) Calcula 2 5 de 350.
- b) Halla la media y la mediana de 12,5; 15; 18,5; 15 y 20.
- c) Calcula la probabilidad de sacar un número primo en un dado.
- d) Convierte 0,375 en fracción irreducible y porcentaje.
🟠 Ficha de Ampliación
Ordena los sucesos desde el menos probable hasta el más probable:
- a) Sacar una bola roja de una bolsa con 1 roja y 9 azules.
- b) Obtener un número menor que 6 al lanzar un dado.
- c) Obtener cara al lanzar una moneda.
- d) Sacar una bola verde de una bolsa formada solo por bolas verdes.
Compara las probabilidades de las cajas A y B:
- a) Caja A: 9 premios y 21 boletos sin premio.
- b) Caja B: 11 premios y 19 boletos sin premio.
- c) Expresa ambas probabilidades como fracción y porcentaje.
- d) Determina en qué caja conviene participar.
Analiza la serie 8, 9, 9, 10, 11, 12 y después añade el valor 35:
- a) Calcula la media inicial.
- b) Calcula la nueva media.
- c) Compara las medianas.
- d) Explica qué medida se ve más afectada.
Representa los datos 5, 8, 12, 9, 6 y 14:
- a) Dibuja un diagrama de barras.
- b) Construye un gráfico de líneas.
- c) Indica qué información destaca mejor cada uno.
- d) Escribe un título y rotula los ejes.
En una encuesta de 60 alumnos, 27 prefieren fútbol, 18 baloncesto y 15 atletismo:
- a) Calcula las frecuencias relativas.
- b) Exprésalas como porcentajes.
- c) Determina la moda.
- d) Explica qué gráfico utilizarías para representarlas.
Diana de Autoevaluación Interactiva
Reflexiona sobre tu aprendizaje haciendo clic en la opción que mejor te defina