3. NÚMEROS DECIMALES Y ENTEROS
Compara, descompón y redondea números decimales; trabaja con números enteros, resuelve operaciones y ecuaciones sencillas y aplica estos conocimientos a situaciones de medida, precios, cambios de temperatura, reparto y cálculo cotidiano.
Comparación y ordenación de números decimales
⚖️ ¿Cómo comparamos y ordenamos números decimales?
Para comparar dos números decimales, nos fijamos primero en la parte entera. El número que tenga la parte entera mayor será el más grande. Si las partes enteras son iguales, comparamos sucesivamente las cifras decimales empezando de izquierda a derecha: primero las décimas, luego las centésimas y después las milésimas.
Ejercicios de práctica
Compara las siguientes parejas de números decimales e indica cuál es el mayor en cada caso:
- a) 4,506 y 4,56
- b) 12,089 y 12,098
- c) 0,999 y 1,001
- d) 34,502 y 34,500
Compara las siguientes parejas de números decimales e indica cuál es el menor en cada caso:
- a) 8,304 y 8,340
- b) 25,109 y 25,091
- c) 0,050 y 0,005
- d) 112,409 y 112,390
Ordena de menor a mayor las siguientes series de números decimales:
- a) 3,405 - 3,450 - 3,045 - 3,504
- b) 12,101 - 12,011 - 12,110 - 12,099
- c) 0,805 - 0,850 - 0,799 - 0,809
- d) 45,606 - 45,066 - 45,660 - 45,600
Ordena de mayor a menor las siguientes series de números decimales:
- a) 9,808 - 9,880 - 9,088 - 9,818
- b) 105,303 - 105,330 - 105,033 - 105,309
- c) 1,250 - 1,205 - 1,502 - 1,520
- d) 0,440 - 0,404 - 0,444 - 0,400
Coloca el signo de comparación correcto (>, < o =) entre cada pareja de números decimales:
- a) 6,700 ___ 6,7
- b) 15,405 ___ 15,450
- c) 0,302 ___ 0,299
- d) 89,999 ___ 90,001
Coloca el signo de comparación correcto (>, < o =) entre cada pareja de números decimales:
- a) 2,500 ___ 2,500
- b) 4,080 ___ 4,008
- c) 18,901 ___ 18,900
- d) 0,070 ___ 0,07
En el mercado de abastos de Huelva, María ha comprado tres piezas de queso con los siguientes pesos: 1,250 kg, 1,205 kg, 1,255 kg y 1,252 kg. Ordénalos de menor a mayor e indica cuál es el más pesado y cuál el más ligero.
Cuatro atletas andaluces han obtenido las siguientes marcas en una carrera de 100 metros: 11,405 s, 11,450 s, 11,399 s y 11,409 s. Ordena los tiempos de menor a mayor, identifica al ganador y calcula la diferencia entre la mejor y la peor marca.
En una cooperativa agrícola de Almería se comparan los precios por kilo de tres tipos de pimientos: 1,850 €, 1,805 €, 1,850 € y 1,805 €. Indica qué precios son equivalentes y ordénalos de menor a mayor.
Durante un estudio medioambiental en Sierra Nevada se han medido las alturas de cuatro plantas endémicas: 0,504 m, 0,540 m, 0,499 m y 0,509 m. Ordénalas de menor a mayor y calcula cuántos metros separan la planta más alta de la más baja.
Descomposición de números decimales
🧩 ¿Cómo se descomponen los números decimales?
Un número decimal se compone de una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la coma). Podemos descomponerlo de dos formas principales:
- Descomposición aditiva: Sumando el valor posicional de cada una de sus cifras (por ejemplo: 4,35 = 4 + 0,3 + 0,05).
- Descomposición por orden de magnitudes: Indicando las unidades (U), décimas (d), centésimas (c) y milésimas (m) que lo integran (por ejemplo: 4,35 = 4 U + 3 d + 5 c).
Ejercicios de práctica
Realiza la descomposición aditiva de los siguientes números decimales:
- a) 58,407
- b) 203,075
- c) 1 204,305
- d) 90,602
Escribe el número decimal que corresponde a cada una de estas descomposiciones aditivas:
- a) 80 + 7 + 0,4 + 0,006
- b) 300 + 40 + 2 + 0,05 + 0,008
- c) 1 000 + 200 + 4 + 0,09 + 0,001
- d) 50 + 0,7 + 0,004
Descompón los siguientes números decimales según el orden de sus magnitudes (U, d, c, m):
- a) 57,309
- b) 405,082
- c) 1 020,504
- d) 83,041
Escribe en forma decimal los siguientes números expresados por su orden de magnitudes:
- a) 5 D + 6 U + 2 d + 5 m
- b) 3 C + 2 D + 4 U + 8 c + 3 m
- c) 8 C + 1 U + 5 d + 9 m
- d) 9 D + 7 d + 4 m
Una báscula digital de una frutería de Granada marca un peso de 13,408 kg para un lote de manzanas. Realiza la descomposición por orden de magnitudes de esta cantidad y explica qué valor representa la cifra de las milésimas y cuántas centésimas completas contiene la cantidad.
El coste de una factura de suministro eléctrico en un comercio de Córdoba asciende a 1 245,905 €. Expresa dicho importe mediante descomposición aditiva e indica cuántas décimas y cuántas centésimas completas contiene la cantidad.
Redondeo y aproximación de decimales
🎯 ¿Cómo aproximamos un número decimal?
Aproximar o redondear un número decimal nos permite trabajar con valores más sencillos en situaciones cotidianas:
- Nos fijamos en la cifra inmediatamente posterior a la que queremos redondear (a la unidad, décima o centésima).
- Si esa cifra es menor que 5 (0, 1, 2, 3, 4), mantenemos la cifra a redondear tal como está.
- Si esa cifra es igual o mayor que 5 (5, 6, 7, 8, 9), sumamos una unidad a la cifra que estamos redondeando.
Ejercicios de práctica
Aproxima los siguientes números decimales a la unidad más cercana:
- a) 48,49
- b) 85,50
- c) 149,51
- d) 999,499
Redondea las siguientes cantidades a la décima más cercana:
- a) 16,249
- b) 82,851
- c) 0,949
- d) 345,951
Aproxima los siguientes números decimales a la centésima más cercana:
- a) 13,145
- b) 98,995
- c) 0,995
- d) 214,999
Redondea cada número decimal al orden que se indica entre paréntesis:
- a) 47,958 (a la décima)
- b) 124,995 (a la centésima)
- c) 1 052,51 (a la unidad)
- d) 9,949 (a la décima)
En una gasolinera de Sevilla el litro de combustible cuesta 1,695 €. Si el surtidor aproxima el precio a la centésima de euro más cercana, ¿cuánto pagará un cliente por cada litro de combustible?
Para realizar una excursión al Parque Nacional de Doñana, un grupo escolar estima gastar 18,52 € por alumno en transporte. Redondea esa cantidad a las unidades y calcula la estimación para 48 alumnos.
Un atún pescado en la lonja de Barbate ha pesado 184,955 kg. Si en el registro del mercado se redondea el peso a las décimas de kilo, ¿qué peso figurará en el certificado oficial?
El tiempo oficial de un nadador en los campeonatos de Andalucía ha sido de 58,95 segundos. Si los jueces piden la aproximación a la décima de segundo, ¿cuál será el registro anotado?
Cálculo mental con números decimales
🧠 Estrategias de cálculo mental con decimales
Para realizar operaciones mentales rápidas con números decimales podemos utilizar diversas estrategias:
- Completar a la unidad: Buscar la parte decimal que falta para alcanzar el entero superior. Por ejemplo: 5,98 + 4,32 = 6 + 4,30 = 10,30).
-
Descomponer en parte entera y decimal: Sumar, restar o multiplicar primero los enteros y después los decimales.
Por ejemplo: 3,14 + 2,05 = (3 + 2) + (0,14 + 0,05) = 5 + 0,19 = 5,19.
Ejercicios de práctica
Calcula mentalmente el resultado de las siguientes sumas de decimales sencillos:
- a) 4,75 + 0,25
- b) 9,8 + 3,2
- c) 12,75 + 7,25
- d) 19,95 + 4,05
Calcula mentalmente las siguientes restas con números decimales:
- a) 10 - 3,75
- b) 20 - 8,95
- c) 15,5 - 6,75
- d) 100 - 49,5
Obtén mentalmente el doble de los siguientes números decimales:
- a) 12,5
- b) 8,75
- c) 4,95
- d) 15,25
Completa mentalmente la cantidad decimal que falta para llegar al número indicado:
- a) 7,35 + ___ = 10
- b) 19,75 + ___ = 20
- c) 48,6 + ___ = 50
- d) 99,125 + ___ = 100
Manuel compra un refresco en un chiringuito de Cádiz que cuesta 3,85 €. Paga con un billete de 5 €. ¿Cuánto dinero le devuelven mentalmente?
Una cinta métrica mide 12,5 metros. Si se le cortan 4,75 metros para un trabajo manual, ¿cuántos metros de cinta quedan?
En un mercado de Málaga, un cuarto de kilo de boquerones cuesta 2,25 €. ¿Cuánto costará mentalmente un kilo entero?
Para preparar un salmorejo, Lucía necesita 1 kilo de tomates. Ya ha pesado 0,735 kg en la báscula. ¿Qué cantidad de tomates le falta para completar el kilo?
Adición y sustracción de números decimales
➕ ¿Cómo se suman y se restan números decimales?
Para sumar o restar números decimales colocamos los términos en vertical alineando las comas en la misma columna (coincidiendo las unidades con las unidades, las décimas con las décimas, etc.). Si alguno de los números tiene menos cifras decimales que el otro, añadimos ceros a la derecha de la parte decimal para facilitar la operación.
Ejercicios de práctica
Coloca en vertical y resuelve las siguientes sumas:
- a) 184,275 + 68,934
- b) 1 205,608 + 348,975
- c) 90,784 + 13,456
- d) 2 034,129 + 789,905
Resuelve las siguientes adiciones alineando correctamente la coma:
- a) 38,905 + 12,457 + 0,638
- b) 145,089 + 220,506 + 19,304
- c) 11,254 + 88,907 + 134,129
- d) 1 500,405 + 223,899 + 11,006
Resuelve las siguientes sumas con decimales:
- a) 450 + 12,875
- b) 1 280 + 0,452
- c) 13 450 + 889,305
- d) 120 + 13,405 + 0,856
Completa la cifra o término faltante en las siguientes sumas:
- a) 125,75 + ___ = 200,80
- b) ___ + 48,275 = 100,500
- c) 18,905 + ___ = 43,500
- d) 345,109 + ___ = 1 000,000
Coloca en vertical y resuelve las siguientes restas:
- a) 148,905 - 72,468
- b) 1 005,400 - 638,275
- c) 80,300 - 22,945
- d) 2 045,080 - 989,907
Resuelve las siguientes restas:
- a) 150 - 48,275
- b) 1 200 - 985,625
- c) 30 - 9,875
- d) 4 500 - 2 123,456
Calcula la diferencia de los siguientes números decimales:
- a) 189,405 - 112,876
- b) 1 304,100 - 950,258
- c) 11,005 - 9,897
- d) 167,200 - 145,892
Averigua el minuendo o sustraendo faltante en cada sustracción:
- a) M - 112,75 = 88,405
- b) 245,800 - S = 115,275
- c) M - 10,458 = 21,257
- d) 1 000 - S = 545,358
En una frutería de Jaén se han vendido 145,875 kg de cerezas por la mañana y 82,468 kg por la tarde. ¿Cuántos kilogramos de cerezas se han vendido en total a lo largo del día?
Un agricultor de la Vega de Granada disponía de un depósito de riego con 1 500 litros de agua. Si ha utilizado 824,975 litros para regar sus hortalizas, ¿cuántos litros de agua quedan en el depósito?
Un camión repartidor llevaba una carga inicial de 2 750,500 kg de aceite. En la primera parada descarga 825,875 kg y en la segunda 680,625 kg. ¿Cuántos kilogramos de aceite le quedan por entregar?
En una competición de salto de longitud en Almería, un atleta salta 6,875 metros en su primer intento y 7,042 metros en el segundo. ¿Cuál ha sido la diferencia de distancia entre ambos saltos?
Multiplicación de números decimales
✖️ ¿Cómo multiplicamos números decimales?
Para multiplicar números decimales (o un decimal por un número entero), realizamos la operación como si fueran números enteros. Al finalizar la multiplicación, contamos el número total de cifras decimales que sumen todos los factores y colocamos la coma en el resultado final contando esa misma cantidad de lugares de derecha a izquierda.
Ejercicios de práctica
Resuelve las siguientes multiplicaciones:
- a) 124,305 x 18
- b) 1 208,45 x 24
- c) 13,405 x 125
- d) 8,075 x 64
Calcula el resultado:
- a) 14,25 x 3,6
- b) 32,08 x 1,25
- c) 4,125 x 0,84
- d) 134,2 x 4,125
Coloca correctamente la coma en el producto de estas operaciones:
- a) 12,504 x 3,25
- b) 145,8 x 0,075
- c) 112,04 x 2,05
- d) 0,408 x 0,09
Resuelve las siguientes multiplicaciones de decimales en tu cuaderno:
- a) 1 234,5 x 3,45
- b) 489,12 x 1,85
- c) 10,785 x 142
- d) 1 050,4 x 0,125
Multiplica los siguientes números decimales:
- a) 18,25 x 13,15
- b) 114,05 x 2,405
- c) 6,025 x 0,085
- d) 1 020,50 x 1,205
En un supermercado de Córdoba el kilo de carne de ternera cuesta 18,75 €. Si un cliente compra un trozo que pesa 3,25 kg, ¿cuánto deberá pagar por la compra?
Una bobina de cable para instalaciones eléctricas en un taller de Linares mide 125,75 metros. Si el metro de cable se vende a 2,45 €, ¿cuál es el precio de la bobina completa?
Una garrafa de agua mineral contiene 8,375 litros. ¿Cuántos litros de agua habrá en total en una paleta que transporta 96 garrafas?
Un coche consume un promedio de 6,4 litros de gasolina por cada 100 kilómetros. Si recorre 650 km y el litro de combustible cuesta 1,58 €, ¿cuánto costará el combustible consumido en el viaje?
Un agricultor de la comarca de la Axarquía recolecta 125,75 kg de aguacates por árbol. Si tiene 48 árboles en su parcela, ¿cuántos kilogramos de aguacates obtendrá en total?
División con números decimales
➗ Casos de la división con decimales
Nos encontramos con tres situaciones posibles al dividir con decimales:
- Coma en el dividendo: Dividimos de manera normal y, justo al bajar la primera cifra decimal del dividendo, colocamos una coma en el cociente.
- Coma en el divisor: Eliminamos la coma del divisor multiplicando el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor (10, 100, 1 000...).
- Coma en ambos términos: Desplazamos la coma del dividendo a la derecha tantos lugares como cifras decimales tenga el divisor (añadiendo ceros al dividendo si fuera necesario).
Ejercicios de práctica
Resuelve las siguientes divisiones con decimales en el dividendo:
- a) 145,8 : 6
- b) 1 284,5 : 15
- c) 984,36 : 24
- d) 2 345,2 : 32
Calcula el cociente exacto de estas divisiones:
- a) 125,76 : 12
- b) 864,36 : 18
- c) 1 134,90 : 30
- d) 2 469,6 : 24
Resuelve las siguientes divisiones obteniendo dos cifras decimales en el cociente:
- a) 1 254,8 : 36
- b) 2 408,7 : 42
- c) 989,25 : 64
- d) 4 205,8 : 56
Divide las siguientes cantidades con decimales en el dividendo:
- a) 8,496 : 24
- b) 13,455 : 15
- c) 9,072 : 24
- d) 120,624 : 48
Resuelve las siguientes divisiones e indica su resto:
- a) 1 458,9 : 32
- b) 2 890,4 : 48
- c) 5 245,6 : 75
- d) 13 450,2 : 125
Resuelve estas divisiones:
- a) 145 : 0,25
- b) 1 260 : 1,5
- c) 984 : 0,8
- d) 1 350 : 2,25
Calcula el cociente eliminando la coma del divisor:
- a) 1 080 : 1,25
- b) 2 400 : 0,64
- c) 7 500 : 0,25
- d) 1 920 : 0,16
Resuelve las siguientes divisiones:
- a) 185 : 0,125
- b) 1 344 : 1,6
- c) 1 890 : 0,07
- d) 7 500 : 1,875
Calcula en tu cuaderno:
- a) 125 : 0,025
- b) 436 : 0,8
- c) 2 400 : 0,32
- d) 1 155 : 3,5
Divide:
- a) 148 : 0,4
- b) 625 : 0,025
- c) 7 200 : 0,45
- d) 144 : 0,018
Resuelve:
- a) 125,75 : 2,5
- b) 245,7 : 1,5
- c) 18,9 : 0,35
- d) 210,6 : 0,9
Resuelve las siguientes divisiones:
- a) 115,75 : 0,25
- b) 284,36 : 1,8
- c) 1 228,4 : 0,08
- d) 9,96 : 0,24
Calcula:
- a) 14,625 : 0,125
- b) 118,8 : 0,09
- c) 420,45 : 1,75
- d) 12,408 : 0,06
Divide:
- a) 8,925 : 0,075
- b) 112,48 : 2,4
- c) 13,456 : 0,16
- d) 145,095 : 0,45
Resuelve en tu cuaderno:
- a) 1 105,50 : 2,50
- b) 18,864 : 0,36
- c) 1 224,2 : 0,06
- d) 7,875 : 0,125
Se reparten 845,50 litros de aceite de oliva de una cooperativa de Úbeda en botellas de 1,25 litros cada una. ¿Cuántas botellas completas se podrán llenar?
Un grupo de 8 amigos acude a cenar a un restaurante en Sanlúcar de Barrameda. Si la cuenta total asciende a 327,60 € y deciden pagarla a partes iguales, ¿cuánto dinero debe aportar cada uno?
Un rollo de césped artificial mide 125,4 metros de longitud. Si se corta en tiras iguales de 0,95 metros para ajardinar un patio escolar en Sevilla, ¿cuántas tiras se obtienen?
Se han pagado 126,72 € por una compra de 7,2 kg de jamón ibérico en un secadero de Jabugo. ¿Cuál es el precio exacto de un kilo de dicho jamón?
Un depósito de agua potable de 1 275 litros pierde agua por una grieta a razón de 3,75 litros por hora. ¿Cuántas horas tardará el depósito en vaciarse por completo si no se repara?
Operaciones con la unidad seguida de ceros
↔️ Regla del desplazamiento de la coma
- Para multiplicar por 10, 100, 1 000...: Desplazamos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si faltan cifras, añadimos ceros.
- Para dividir entre 10, 100, 1 000...: Desplazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si faltan cifras, añadimos ceros a la izquierda.
Ejercicios de práctica
Multiplica los siguientes números decimales por 10, 100 y 1 000:
- a) 23,405 x 10
- b) 0,708 x 100
- c) 102,405 x 1 000
- d) 0,096 x 100
Divide los siguientes números decimales entre 10, 100 y 1 000:
- a) 945,8 : 10
- b) 1 220,5 : 100
- c) 83,4 : 1 000
- d) 708,9 : 100
Completa con el factor o divisor faltante (10, 100 o 1 000):
- a) 0,425 x ___ = 425
- b) 893 : ___ = 0,893
- c) 0,007 x ___ = 7
- d) 1 254 : ___ = 1,254
Resuelve mentalmente desplazando la coma según corresponda:
- a) 0,0508 x 100
- b) 4 502,8 : 10
- c) 12,034 x 1 000
- d) 908 : 1 000
Completa las siguientes expresiones combinadas con la unidad seguida de ceros:
- a) (25,4 x 100) : 1 000
- b) (480,5 : 100) x 1 000
- c) (0,045 x 1 000) : 10
- d) (12 500 : 1 000) x 100
Un almacén de papelería en Algeciras vende paquetes de 1 000 folios por 42,50 €. ¿Cuál es el precio de un solo folio?
Una caja contiene 100 brics de zumo de naranja de 0,33 litros cada uno. ¿Cuántos litros de zumo contiene la caja completa?
Para una carrera solidaria en un colegio de Córdoba se compran 1 000 camisetas. Si cada camiseta tiene un coste de 12,35 €, ¿a cuánto asciende la factura total de la compra?
En un entrenamiento, un atleta da 1 000 zancadas de 0,875 metros cada una. ¿Qué distancia total recorre? Expresa el resultado en metros.
Un depósito contiene 1 250,75 litros de aceite de girasol. Si se reparte equitativamente entre 1 000 recipientes iguales, ¿cuántos litros de aceite se verterán en cada recipiente?
Numeración con números enteros
↔️ Números positivos, negativos y cero
Los números enteros incluyen los números positivos, los números negativos y el cero. Los números positivos se sitúan a la derecha del 0 en la recta numérica y los negativos, a la izquierda. El 0 no es positivo ni negativo.
En la recta numérica, un número es mayor cuanto más a la derecha se encuentra. Por ejemplo, −2 > −5 porque −2 está más cerca de 0. También podemos comparar números enteros con números decimales: −2,5 está entre −3 y −2, mientras que 1,4 está entre 1 y 2.
Recta numérica con enteros y marcas cada 0,5
Observa que entre dos números enteros consecutivos podemos situar otros números decimales. En este ejemplo aparecen marcas cada 0,5 , es decir, cada media unidad.
Ejercicios de práctica
Dibuja una recta numérica desde −10 hasta 10 y representa en ella los siguientes números:
- a) −8
- b) −3
- c) 0
- d) 6
Representa en una recta numérica los siguientes valores y escribe después cuál está más cerca de 0 y cuál está más lejos:
- a) −12
- b) 7
- c) −4
- d) 11
Coloca el signo correcto (>, < o =) entre cada pareja de números enteros:
- a) −7 ___ −2
- b) 5 ___ −5
- c) −9 ___ −9
- d) 0 ___ −4
Compara las siguientes temperaturas y profundidades. Indica en cada caso cuál de los dos valores es mayor:
- a) −6 °C y −11 °C
- b) 3 °C y −2 °C
- c) −18 m y −25 m
- d) 0 m y −7 m
Ordena de menor a mayor las siguientes series de números enteros:
- a) −4, 7, −9, 0, 3
- b) 12, −2, −15, 5, −1
- c) −6, −11, −3, −8, 2
- d) 9, 1, −5, 0, −10
Ordena de mayor a menor las siguientes series de números enteros:
- a) −12, −4, 8, 0, 5
- b) 14, −7, 3, −1, 10
- c) −2, −18, −9, 4, 1
- d) 6, −6, 2, −11, 0
Compara números enteros y decimales utilizando >, < o =:
- a) −3 ___ −2,7
- b) 4 ___ 4,25
- c) −1,5 ___ −2
- d) 0 ___ −0,08
Ordena de menor a mayor cada serie formada por números enteros y decimales:
- a) −2,5; −3; 0,75; 1; −0,25
- b) 4,2; 4; −1,8; −2; 0
- c) −5; −4,95; −5,1; 2,5; 2
- d) 0,4; −0,6; 0; −1; 1,2
Operaciones con números enteros
➕➖ Reglas básicas para operar con números enteros
- Suma: si los números tienen el mismo signo, sumamos sus valores y conservamos el signo. Si tienen distinto signo, restamos sus valores absolutos y conservamos el signo del número que está más alejado de 0.
- Resta: restar un número equivale a sumar su opuesto.
- Multiplicación y división: si los signos son iguales, el resultado es positivo; si son distintos, el resultado es negativo.
Para entender mejor estas reglas, observa estos ejemplos sencillos:
Ejemplo de suma
Ejemplo de resta
Ejemplo de multiplicación
Ejemplo de división
Ejercicios de práctica
Calcula las siguientes sumas de números enteros:
- a) (+8) + (+5)
- b) (−6) + (−9)
- c) (+12) + (−7)
- d) (−15) + (+8)
Resuelve las sumas y comprueba el resultado situándote mentalmente en la recta numérica:
- a) (−18) + (+25)
- b) (+31) + (−46)
- c) (−27) + (−14)
- d) (+50) + (−19)
Calcula las siguientes restas de números enteros:
- a) (+9) − (+14)
- b) (+7) − (−6)
- c) (−5) − (+8)
- d) (−11) − (−4)
Transforma cada resta en una suma del opuesto y resuelve:
- a) 16 − (−9)
- b) −24 − (+13)
- c) −18 − (−25)
- d) 35 − (+47)
Multiplica aplicando correctamente la regla de los signos:
- a) (+6) × (+8)
- b) (−7) × (+9)
- c) (−5) × (−12)
- d) (+14) × (−4)
Calcula estas multiplicaciones y explica en cada caso por qué el resultado es positivo o negativo:
- a) (−18) × (−5)
- b) (+24) × (−3)
- c) (−11) × (+7)
- d) (+16) × (+6)
Divide aplicando la regla de los signos:
- a) (+56) : (+7)
- b) (−72) : (+8)
- c) (−81) : (−9)
- d) (+96) : (−12)
Resuelve las siguientes divisiones exactas de números enteros:
- a) (−144) : (+12)
- b) (+180) : (−15)
- c) (−225) : (−25)
- d) (+168) : (+14)
Ecuaciones de primer grado
⚖️ ¿Cómo resolvemos una ecuación sencilla?
Una ecuación es una igualdad en la que aparece un valor desconocido, que normalmente representamos con una letra como x . Resolver una ecuación consiste en descubrir qué valor hace verdadera la igualdad.
Para dejar la incógnita sola utilizamos la operación inversa: si aparece sumando, restamos; si aparece restando, sumamos; si está multiplicando, dividimos; y si está dividiendo, multiplicamos. Debemos realizar la misma operación en los dos miembros de la igualdad. Cuando escribimos 3x , queremos decir 3 × x .
Observa estos dos ejemplos resueltos paso a paso:
Ejemplo 1: ecuación muy sencilla
Ejemplo 2: ecuación con multiplicación y suma
Ejercicios de práctica
Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones con una suma:
- a) x + 7 = 19
- b) x + 5 = 14
- c) x + 12 = 25
- d) x + 9 = 23
Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones con una resta:
- a) x − 12 = −5
- b) x − 8 = 6
- c) x − 15 = 4
- d) x − 9 = −2
Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones con multiplicación:
- a) 3x = 27
- b) 5x = 40
- c) 7x = 56
- d) 4x = −36
Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones con división:
- a) x : 4 = −6
- b) x : 5 = 7
- c) x : 6 = −3
- d) x : 8 = 9
Resuelve y comprueba estas ecuaciones de dos pasos con suma:
- a) 2x + 5 = 17
- b) 3x + 4 = 19
- c) 4x + 7 = 31
- d) 5x + 2 = 42
Resuelve y comprueba estas ecuaciones de dos pasos con resta:
- a) 5x − 8 = 22
- b) 4x − 7 = 21
- c) 6x − 5 = 31
- d) 3x − 11 = 10
Resuelve y comprueba las ecuaciones en las que el término con x aparece restando:
- a) 24 − 2x = 10
- b) 35 − 5x = 10
- c) 18 − 3x = 0
- d) 50 − 4x = 18
Resuelve y comprueba estas ecuaciones combinando división con suma o resta:
- a) x : 3 + 4 = −2
- b) x : 5 + 2 = 7
- c) x : 4 − 3 = 2
- d) x : 6 − 1 = −4
Problemas y Desafíos
📌 Parte A: Problemas
En una frutería de Granada se compran 3,75 kg de plátanos a 1,84 €/kg y 4,5 kg de naranjas a 1,28 €/kg. Además se paga una bolsa reutilizable de 0,35 €. Si se entrega un billete de 20 €, ¿cuánto dinero de cambio se recibe?
Un senderista recorre la ruta del Caminito del Rey dividiéndola en tres etapas: 3,475 km la primera, 4,825 km la segunda y 2,95 km la tercera. ¿Qué distancia total ha recorrido y cuánto le falta para completar una ruta de 15 km?
Tres garrafas de aceite de oliva virgen extra de Jaén contienen 12,75 litros, 9,6 litros y 11,025 litros respectivamente. Si se junta todo el aceite y se envasa en botellas de 0,75 litros, ¿cuántas botellas se llenan?
Un camión transporta 250 cajas de tomates de la comarca del Nijar. Si cada caja pesa 1,245 kg vacía y lleva 18,75 kg de tomates dentro, ¿cuál es la masa total de la carga?
En una panadería de Alcalá de Guadaíra, el kilo de pan cuesta 2,48 €. Si un cliente compra 1,25 kg de pan, ¿cuánto deberá abonar por la compra?
Una piscina municipal de Ronda contiene 320,75 metros cúbicos de agua. Por un escape se pierden 0,875 metros cúbicos cada hora. ¿Cuántos metros cúbicos quedarán transcurridas 36 horas?
El precio de un paquete de 25 cuadernos es de 46,75 €. ¿Cuánto costarían 200 cuadernos de las mismas características?
Un agricultor ha cosechado 6 845,5 kg de patatas. Guarda 2 500,5 kg para la venta directa y el resto la distribuye en sacos de 18,5 kg. ¿Cuántos sacos llena por completo?
Una modista de Flamenca en Jerez compra una pieza de tela de 24 metros por 186,00 €. Si utiliza 3,75 metros para confeccionar un traje, ¿cuál es el coste de la tela empleada en ese traje?
Cuatro vecinos de un inmueble en Cádiz pagan conjuntamente la factura de reparación del ascensor por valor de 691,20 €. Si uno paga el triple que cada uno de los otros tres por tener pisos más grandes, ¿cuánto paga el vecino que aporta el triple y cuánto paga cada uno de los otros tres?
En Sierra Nevada se registran estas temperaturas: −6,5 °C al amanecer, −2 °C a media mañana, 1,5 °C al mediodía y −0,75 °C al anochecer. Ordénalas de menor a mayor e indica en qué momento hizo más frío y en cuál hizo más calor.
Un ascensor se encuentra en la planta −3. Sube 8 plantas, baja 5 y finalmente sube 2. ¿En qué planta termina? Escribe una operación con números enteros que represente todo el recorrido.
Para una visita escolar se pagan 6 € de gastos de gestión y 4 entradas iguales. El importe total es de 34 €. Plantea una ecuación de primer grado y calcula el precio de cada entrada.
Un submarinista se encuentra a −18 m respecto al nivel del mar. Desciende 12 m, asciende 7 m y vuelve a descender 9 m. ¿A qué profundidad se encuentra al final? ¿Qué número entero representa su posición?
🌟 Parte B: Desafíos
Desafío 1: El Presupuesto del Puesto en la Plaza de Abastos de Jerez
Don Antonio regenta un puesto de frutas y verduras tradicionales en la Plaza de Abastos de Jerez de la Frontera. Para planificar sus ventas de la semana, consulta la lista de precios de compra al por mayor y sus precios de venta al público por kilogramo:
| PRODUCTO | PRECIO COMPRA €/KG | PRECIO VENTA €/KG |
|---|---|---|
| Naranjas de Palma del Río | 0,68€ | 1,47€ |
| Tomates de Alcolea | 0,92€ | 2,28€ |
| Fresas de Huelva | 1,87€ | 3,62€ |
- Pregunta 1: Calcula el beneficio neto que obtiene Don Antonio por cada kilogramo vendido de cada uno de los tres productos.
- Pregunta 2: Si a lo largo del martes vende 57,5 kg de naranjas, 38,75 kg de tomates y 24,5 kg de fresas, ¿cuál es la recaudación total conseguida en el puesto?
- Pregunta 3: Un restaurante local encarga a Don Antonio un pedido especial formado por 125 kg de naranjas, 18,5 kg de tomates y 12,75 kg de fresas. ¿A cuánto asciende el importe total del pedido?
- Pregunta 4: Si el coste de transporte del pedido especial hasta el restaurante es de 28,80 € y Don Antonio decide asumir la mitad del coste y cobrarle la otra mitad al restaurante, ¿cuánto pagará finalmente el restaurante por todo el encargo?
Desafío 2: Viaje de Estudios por la Ruta de los Pueblos Blancos
Un grupo escolar de 6º de Primaria compuesto por 48 alumnos y 4 profesores organiza un viaje de estudios de dos días para recorrer la Ruta de los Pueblos Blancos de la Sierra de Cádiz.
Los costes previstos para la actividad son los siguientes:
- Alquiler del autobús con conductor: 846,24 € en total.
- Alojamiento y desayuno: 27,50 € por persona y noche.
- Entrada combinada a monumentos: 8,50 € por persona.
- Pregunta 1: Calcula el número total de participantes en el viaje y determina el coste total del alojamiento y de las entradas a monumentos para todo el grupo.
- Pregunta 2: El presupuesto total del viaje se reparte a partes iguales únicamente entre los 48 alumnos (los profesores acuden como acompañantes subvencionados por el centro). ¿Cuánto debe pagar exactamente cada alumno por el viaje completo?
- Pregunta 3: La AMPA del colegio decide colaborar aportando una ayuda de 7,50 € por cada alumno. ¿Cuál es la cantidad final que deberá abonar la familia de cada estudiante?
- Pregunta 4: Durante la parada en Grazalema, el grupo compra quesos artesanales. Si compran 18 piezas de queso de 1,40 kg cada una a un precio de 16,75 € el kilo, calcula mediante operaciones combinadas el coste total de los quesos.
Desafío 3: Una jornada científica en Sierra Nevada
Un grupo de 6.º participa en una actividad de observación meteorológica. Durante el día registra temperaturas de −8 °C, −3,5 °C, 2 °C y −1 °C. Para financiar la actividad, el centro aporta 120 € y cada uno de los 24 alumnos paga la misma cantidad. El coste total de la actividad es de 720 €.
- Pregunta 1: Ordena las cuatro temperaturas de menor a mayor y represéntalas aproximadamente en una recta numérica.
- Pregunta 2: ¿Cuántos grados aumentó la temperatura desde −8 °C hasta 2 °C?
- Pregunta 3: Si desde 2 °C la temperatura desciende 7 °C, ¿qué temperatura se obtiene?
- Pregunta 4: Plantea y resuelve una ecuación para averiguar cuánto debe pagar cada alumno si el centro aporta 120 € y el coste total es de 720 €.
Repasamos lo aprendido
Bloque de consolidación y repaso global de la Situación de Aprendizaje
🟢 Ficha de Refuerzo
Compara y ordena los números decimales:
- a) 17,080 [ ____ ] 17,008
- b) 0,405 [ ____ ] 0,4050
- c) Ordena de menor a mayor: 13,500 • 13,050 • 13,505 • 13,055
- d) Ordena de mayor a menor: 112,090 • 112,900 • 112,099 • 112,909
Descompón o recompón según corresponda:
- a) 145,307 = __________________________________
- b) 28,054 = ______ U + ______ d + ______ c + ______ m
- c) 120 + 4 + 0,6 + 0,009 = __________________
- d) 2 C + 7 D + 3 U + 5 c + 2 m = __________________
Redondea la cantidad 138,976:
- a) A la unidad ➔ __________________
- b) A la décima ➔ __________________
- c) A la centésima ➔ __________________
- d) Explica qué cifra has observado para redondear a las décimas.
Calcula mentalmente:
- a) 12,75 + 0,25 = __________
- b) 15 − 6,75 = __________
- c) El doble de 8,75 = __________
- d) 9,68 + ______ = 10
Coloca las comas correctamente y calcula:
- a) 145,8 + 112,35 = __________________
- b) 13,405 + 18,6 + 0,95 = __________________
- c) 320 − 148,725 = __________________
- d) M − 115,8 = 124,35 ➔ M = __________________
Resuelve las multiplicaciones:
- a) 112,45 × 18 = __________________
- b) 13,6 × 2,5 = __________________
- c) 8,5 × 1,2 = __________________
- d) 48 cajas de 5,25 kg = __________________ kg
Resuelve las divisiones:
- a) 148,8 : 12 = __________________
- b) 625 : 2,5 = __________________
- c) 115,75 : 0,5 = __________________
- d) 184,3 : 24, con dos cifras decimales = __________________
Desplaza correctamente la coma:
- a) 14,58 × 100 = __________________
- b) 0,705 × 1 000 = __________________
- c) 3 205 : 100 = __________________
- d) 84 : 1 000 = __________________
Representa, compara y ordena:
- a) Representa en una recta: −5, 0, 4 y −2.
- b) −7 [ ____ ] −3
- c) Ordena de menor a mayor: 5, −4, 0, −8, 2.
- d) −2,5 [ ____ ] −2
Calcula aplicando las reglas de los signos:
- a) (−8) + (+13) = __________________
- b) 6 − (−9) = __________________
- c) (−7) × (+5) = __________________
- d) (−48) : (−6) = __________________
Resuelve y comprueba:
- a) x + 9 = 21 ➔ x = __________________
- b) x − 7 = −3 ➔ x = __________________
- c) 4x = 28 ➔ x = __________________
- d) 2x + 3 = 15 ➔ x = __________________
Una tienda vende 18,4 kg de fruta a 2,75 €/kg y aplica un descuento de 6,85 €. El cliente paga con 60 €. Responde:
- a) ¿Cuál es el precio antes del descuento? ➔ __________________ €
- b) ¿Cuál es el precio final? ➔ __________________ €
- c) ¿Cuánto cambio recibe? ➔ __________________ €
- d) Redondea el precio final a la unidad más cercana. ➔ __________________ €
🟠 Ficha de Ampliación
Analiza y ordena con precisión:
- a) 9,999 [ ____ ] 10,001
- b) 145,060 [ ____ ] 145,06
- c) Ordena de menor a mayor: 18,008 • 18,080 • 18,800 • 18,088
- d) Escribe un decimal comprendido entre 112,405 y 112,406.
Trabaja con cifras hasta las milésimas:
- a) 1 308,709 = __________________________________
- b) 190,056 = ______ C + ______ D + ______ U + ______ d + ______ c + ______ m
- c) 1 400 + 20 + 0,08 + 0,005 = __________________
- d) 1 C + 6 D + 4 U + 9 d + 7 m = __________________
Compara diferentes aproximaciones:
- a) Redondea 1 499,958 a la unidad.
- b) Redondea 149,958 a la décima.
- c) Redondea 149,958 a la centésima.
- d) Calcula la diferencia entre el número original y cada aproximación.
Calcula mentalmente aplicando las técnicas aprendidas:
- a) 99,9 + 14,75 = __________
- b) 52,5 − 27,85 = __________
- c) La mitad de 187,5 = __________
- d) 8 × 12,75 = __________
Resuelve estas operaciones:
- a) 1 125,806 + 348,95 + 20,744 = __________________
- b) 10 000 − 4 958,675 = __________________
- c) 985,4 − S = 429,875 ➔ S = __________________
- d) Calcula: 1 250,5 − 448,75 + 116,008 = __________________
Resuelve estas multiplicaciones con decimales:
- a) 148,075 × 136 = __________________
- b) 112,84 × 0,875 = __________________
- c) 6,025 × 0,048 = __________________
- d) 225,75 kg por árbol en 68 árboles = __________________ kg
Resuelve estas divisiones:
- a) 1 987,65 : 48, con dos decimales = __________________
- b) 1 350 : 0,125 = __________________
- c) 112,408 : 0,06 = __________________
- d) 845,7 litros en envases de 1,25 litros = __________________ envases completos
Completa factores, divisores y expresiones:
- a) 0,0084 × ______ = 8,4
- b) 7 254 : ______ = 7,254
- c) (14,25 × 1 000) : 100 = __________________
- d) (9,06 : 10) × 1 000 = __________________
Razona con enteros y decimales positivos y negativos:
- a) Ordena: −3,05 • −3,5 • −2,95 • 0 • 1,2.
- b) Escribe un número decimal comprendido entre −4 y −3,5.
- c) ¿Qué número está más cerca de 0: −6,25 o 5,8? Justifica.
- d) Ordena de mayor a menor: −0,75 • 0,5 • −1 • 0 • 1,05.
Resuelve estas operaciones:
- a) (−18) + 35 − 12 = __________________
- b) 24 − (−16) + (−9) = __________________
- c) (−8) × (−6) + (−15) = __________________
- d) (−144) : 12 − (−5) = __________________
Resuelve y comprueba las ecuaciones:
- a) 3x + 8 = 29 ➔ x = __________________
- b) 5x − 17 = 18 ➔ x = __________________
- c) 40 − 4x = 12 ➔ x = __________________
- d) x : 5 − 3 = −1 ➔ x = __________________
Una cooperativa envasa 1 245,75 litros de aceite en botellas de 0,625 litros. Cada botella llena se vende a 7,85 € y los costes ascienden a 5 275,95 €. Responde:
- a) ¿Cuántas botellas completas puede llenar? ➔ __________________
- b) ¿Cuántos litros sobran después del envasado? ➔ __________________ L
- c) ¿Cuál es la recaudación por las botellas completas? ➔ __________________ €
- d) ¿Cuál es el beneficio final? ➔ __________________ €
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