5. POTENCIAS Y DIVISIBILIDAD
Descubre cómo las potencias resumen multiplicaciones repetidas y aprende a reconocer múltiplos, divisores, números primos y reglas de divisibilidad para resolver situaciones matemáticas y problemas cotidianos.
Las potencias
🔢 ¿Qué es una potencia?
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación en la que todos los factores son iguales.
- Base: es el número que se repite como factor.
- Exponente: es el número pequeño situado arriba a la derecha que indica cuántas veces aparece la base como factor.
Cuando el exponente es 2, se lee «al cuadrado»; cuando es 3, se lee «al cubo».
Las potencias de base 10 equivalen a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente.
Casos especiales: un número elevado a 1 conserva su valor (18¹ = 18); cualquier número distinto de 0 elevado a 0 vale 1 (9⁰ = 1); y 1 elevado a cualquier exponente natural vale 1 (1¹⁵ = 1).
Ejercicios de práctica
Escribe las siguientes multiplicaciones de factores iguales en forma de potencia:
- a) 4 × 4 × 4 × 4
- b) 7 × 7 × 7
- c) 10 × 10 × 10 × 10 × 10
- d) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Expresa las siguientes potencias como una multiplicación de factores iguales:
- a) 5 4
- b) 8 3
- c) 9 5
- d) 10 6
Calcula el valor numérico de las siguientes potencias:
- a) 2 5
- b) 3 4
- c) 6 3
- d) 9 2
Resuelve las siguientes potencias de base 10:
- a) 10 3
- b) 10 5
- c) 10 2
- d) 10 8
Completa el término que falta —base, exponente o resultado— en cada expresión:
- a) 4 x = 64
- b) x 3 = 125
- c) 10 x = 1 000 000
- d) 7 3 = x
Identifica la base y el exponente de cada potencia y calcula su resultado final:
- a) 3 5
- b) 2 7
- c) 10 4
- d) 5 3
Resuelve las siguientes potencias atendiendo a los casos especiales de exponente 0, exponente 1 o base 1:
- a) 18 1
- b) 9 0
- c) 1 15
- d) 12 0
Expresa cada enunciado en forma de potencia y halla su resultado:
- a) El cuadrado del número 8.
- b) El cubo del número 5.
- c) Dos elevado a la sexta potencia.
- d) Diez elevado a la cuarta potencia.
Divisibilidad: múltiplos, divisores, números primos y reglas
🧩 Conceptos clave de la divisibilidad
-
Múltiplo:
resultado de multiplicar un número por cualquier número natural, incluido el 0. Los múltiplos de un número distinto de 0 son infinitos.
Algunos múltiplos de 3 --> 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36...
-
Divisor:
número natural distinto de 0 que divide a otro de forma exacta, con resto cero. Todo número natural mayor que 0 tiene un número finito de divisores.
Los divisores de 24 --> 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
-
Número primo:
es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: el 1 y él mismo. Deberías aprenderte de memoria los números primos, al menos, hasta el 19.
Los números primos hasta el 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
- Número compuesto: es un número natural mayor que 1 que tiene más de dos divisores positivos, contando el 1 y el propio número. El 0 y el 1 no son primos ni compuestos. Recuerda que las divisiones que hagas SIEMPRE tienen que ser exactas.
Reglas de divisibilidad principales
-
Por 2:
Cualquier número par es divisible por 2.
36 es divisible por 2 porque 36 es par. 36:2 = 18 y resto 0.
-
Por 3:
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
36 es divisible por 3 porque la suma de las cifras de 36 es 3 + 6 = 9. Y 9 es múltiplo de 3. 36:3 = 12 y resto 0.
-
Por 5:
Cualquier número terminado en 0 o en 5 es divisible por 5.
15 es divisible por 5 porque 15 acaba en 5. 15:5 = 3 y resto 0.
-
Por 9:
un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
225 es divisible por 9 porque 2 + 2 + 5 = 9. 225 : 9 = 25 y resto 0.
-
Por 10:
Cualquier número terminado en 0 es divisible por 10.
450 es divisible por 10 porque 450 acaba en 0. 450:10 = 45 y resto 0.
Ejercicios de práctica
Calcula los 5 primeros múltiplos positivos de cada uno de los siguientes números naturales:
- a) 6
- b) 9
- c) 14
- d) 25
Halla todos los divisores de los siguientes números:
- a) 12
- b) 20
- c) 35
- d) 48
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F), justificando tu respuesta:
- a) 45 es múltiplo de 9.
- b) 8 es divisor de 34.
- c) 0 es múltiplo de todos los números.
- d) 1 es divisor de cualquier número natural.
Encuentra dos múltiplos comunes para cada pareja de números:
- a) 4 y 6
- b) 5 y 10
- c) 3 y 8
- d) 7 y 14
Calcula todos los divisores comunes de las siguientes parejas de números:
- a) 18 y 24
- b) 20 y 30
- c) 15 y 45
- d) 16 y 40
Selecciona cuáles de los siguientes números son a la vez múltiplos de 3 y de 5:
- 12, 15, 18, 24, 30, 36, 40 y 45.
Clasifica los siguientes números en primos o compuestos:
- a) 13
- b) 21
- c) 29
- d) 33
Escribe todos los números primos comprendidos entre el 10 y el 40.
- Números primos: ________________________________________________
Utiliza las reglas de divisibilidad e indica cuáles de estos números son divisibles por 2, 5 o 10:
- 120, 345, 612, 900 y 1 035.
Determina si los siguientes números son divisibles por 3:
- a) 243
- b) 516
- c) 720
- d) 1 831
Escribe la cifra que falta en el hueco para que el número cumpla la condición indicada:
- a) 42_ para que sea divisible por 5 y no por 10.
- b) 1_8 para que sea divisible por 3.
- c) 75_ para que sea divisible por 2 y por 3 a la vez.
- d) 9_0 para que sea divisible por 3 y 5 a la vez.
Copia y completa la siguiente tabla de divisibilidad indicando SÍ o NO en cada casilla:
| Número | Divisible por 2 | Divisible por 3 | Divisible por 5 | Divisible por 9 | Divisible por 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 180 | |||||
| 225 | |||||
| 408 | |||||
| 930 |
Problemas y Desafíos
🧮 Parte A: Operaciones y problemas
Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas:
- a) 2 4 + 5 × (12 − 4)
- b) 10 2 − 3 × 3 2
- c) (6 + 4) 2 : 5 − 8
- d) 4 3 : 8 + 2 × 10 1
Resuelve las siguientes operaciones:
- a) 13 445,85 + 9 362,904
- b) 505 450 − 34 184,65
- c) 5 442,5 × 3,08
- d) 5 864,6 : 9,2
Realiza las siguientes operaciones con fracciones y simplifica el resultado hasta su forma irreducible:
- a) 3 8 + 1 8
- b) 9 10 − 3 10
- c) 2 5 × 3 4
- d) 4 6 : 2 3
Calcula:
- a) 10 3 × 10 2
- b) 10 6 : 10 4
- c) 0,045 × 1 000
- d) 348,2 : 100
Convierte estas fracciones en números decimales o viceversa:
- a) 3 5
- b) 0,75
- c) 12 100
- d) 1,4
Problema 6
En la planta solar fotovoltaica de Sanlúcar la Mayor (Sevilla) hay 10 filas de paneles solares. Si cada fila contiene 10 2 módulos fotovoltaicos, ¿cuántos módulos solares hay en total en la instalación?
Problema 7
Un almacén de distribución de aceite de oliva en Mengíbar (Jaén) dispone de 1 200 litros de aceite virgen extra. Si se embotella en garrafas de 2,5 litros, ¿cuántas garrafas se llenarán por completo?
Problema 8
María ha dedicado 2 5 de su asignación semanal a comprar un libro de relatos andaluces y 1 5 a material escolar. Si le han sobrado 12 €, ¿cuánto dinero tenía al principio?
Problema 9
Un autobús interurbano que cubre la línea entre Málaga y Granada realiza paradas cada 12 km, mientras que un vehículo de mantenimiento revisa el trazado cada 18 km. Si ambos coinciden en el kilómetro 0, ¿en qué kilómetro volverán a coincidir por primera vez?
Problema 10
Para un taller artesanal de alfarería en Úbeda se empaquetan platos en cajas cúbicas. Si la caja tiene 4 capas y en cada capa caben 4 2 platos, ¿cuántos platos contiene la caja completa y cuál es su expresión en forma de potencia?
🌟 Parte B: Desafíos
Desafío 1: El parque solar fotovoltaico de la Vega del Guadalquivir
En una apuesta por las energías renovables, una empresa privada con el apoyo de las instituciones públicas arrebata a una cooperativa agrícola de la Vega del Guadalquivir los terrenos para instalar paneles solares en donde antes había olivos. La estructura principal está dispuesta en forma cuadrada: consta de 12 filas con 12 paneles en cada fila.
Además, el cuadro eléctrico distribuye la energía en bloques mediante acumuladores de potencia en base 10.
- Pregunta 1: Expresa en forma de potencia el número total de paneles solares instalados en la instalación y calcula su valor final.
- Pregunta 2: Cada panel genera al día una media de 1,25 kWh de energía. ¿Cuántos kWh produce la instalación completa en un día de pleno sol?
- Pregunta 3: La energía producida se almacena en 10 baterías industriales. Si la producción diaria total se reparte a partes iguales entre las 10 baterías, ¿cuántos kWh recibe cada batería al día? Expresa la operación de división utilizando la potencia de base 10 correspondiente.
- Pregunta 4: Si la cooperativa consume 3 4 de la energía generada y vende el resto, ¿cuántos kWh vende al día?
Desafío 2: La logística del envasado en la almazara de Jaén
Una cooperativa olivarera de la provincia de Jaén empaqueta botellas de Aceite de Oliva Virgen Extra (AOVE) para su exportación internacional. Para optimizar el transporte, utilizan palés estandarizados: las botellas de 1 litro se empaquetan en cajas cuadradas con 6 filas y 6 botellas por fila. Los palés grandes transportan 6 capas de estas cajas en altura.
- Pregunta 1: ¿Cuántas botellas contiene una sola caja? Expresa el resultado mediante una potencia.
- Pregunta 2: Si un palé completo contiene 6 capas formadas por 6 cajas cada una, ¿cuántas botellas de aceite hay en un palé? Escribe la operación en forma de potencia de base 6 y calcula la cantidad total de botellas.
- Pregunta 3: El jefe de logística debe empaquetar 180 botellas sueltas de aceite ecológico en cajas iguales sin que sobre ninguna botella. Utiliza las reglas de divisibilidad para determinar si puede organizarlas en: a) cajas de 5 botellas; b) cajas de 9 botellas; c) cajas de 10 botellas.
- Pregunta 4: El precio de producción de cada litro de aceite es de 4,50 € y se vende al distribuidor por 7,20 €. Calcula mediante una sola expresión combinada el beneficio neto que obtiene la cooperativa por la venta de un palé completo.
Desafío 3: El taller de cerámica tradicional de Triana
En un histórico taller artesanal del barrio de Triana (Sevilla), dos ceramistas, Rocío y Pablo, preparan partidas de azulejos pintados a mano para decorar la fachada de un edificio público. Rocío hornea sus lotes de azulejos cada 15 minutos. Pablo hornea sus lotes de azulejos cada 20 minutos. Ambos encienden sus hornos al mismo tiempo a las 9:00 de la mañana.
- Pregunta 1: Escribe los 5 primeros múltiplos positivos de 15 y de 20 para averiguar cuántos minutos transcurrirán hasta que ambos ceramistas vuelvan a coincidir sacando un lote del horno a la vez.
- Pregunta 2: ¿A qué hora exacta de la mañana volverán a coincidir por primera vez tras el encendido de las 9:00?
- Pregunta 3: Disponen de 60 azulejos azules y 84 azulejos amarillos. Quieren empaquetarlos en cajas iguales con el mismo número de azulejos de cada color y sin mezclar colores en la misma caja, utilizando el mayor número posible de azulejos por caja. Halla los divisores comunes de 60 y 84 para descubrir cuántos azulejos debe contener cada caja.
- Pregunta 4: Si cada azulejo azul se vende por 3,25 € y cada azulejo amarillo por 2,75 €, ¿cuál es el valor total de la mercancía completa —60 azules y 84 amarillos—?
Repasamos lo aprendido
Bloque de consolidación y repaso global de la Situación de Aprendizaje
🟢 Ficha de Refuerzo
Escribe, identifica y calcula las siguientes potencias:
- a) 6 × 6 × 6 = 6 ___
- b) 4 3 = 4 × ___ × ___
- c) 5 2 = __________________
- d) Base y exponente de 10 4 : __________________
Aplica los conceptos y reglas de divisibilidad:
- a) Escribe los cinco primeros múltiplos positivos de 8.
- b) Halla todos los divisores de 24.
- c) Indica si 315 es divisible por 3, 5 y 9.
- d) Clasifica 17 y 27 como primos o compuestos.
Resuelve las siguientes actividades:
- a) 3 3 + 18 : 6
- b) 45,8 × 2,5
- c) 3 7 + 2 7
- d) Primer múltiplo común de 6 y 8 distinto de 0.
🟠 Ficha de Ampliación
Razona y completa las expresiones:
- a) 2 x = 128 ➔ x = ______
- b) x 3 = 216 ➔ x = ______
- c) 10 7 = __________________
- d) Expresa 81 como una potencia de base 3.
Resuelve los siguientes retos:
- a) Escribe los números primos comprendidos entre 40 y 70.
- b) Halla los divisores comunes de 48 y 72.
- c) Escribe una cifra para que 58_ sea divisible por 2 y por 9.
- d) Encuentra tres múltiplos comunes de 12 y 18.
Una empresa empaqueta 360 piezas en cajas cuadradas con 6 filas de 6 piezas. Responde:
- a) ¿Cuántas piezas contiene cada caja? Exprésalo como 6 2 .
- b) ¿Cuántas cajas completas pueden llenarse?
- c) Comprueba mediante reglas de divisibilidad si 360 es divisible por 5, 9 y 10.
- d) Si cada pieza se vende a 2,75 €, ¿cuál es el importe total?
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