8. GEOMETRÍA PLANA Y ESPACIAL
Aprende a orientarte mediante planos y coordenadas, analiza ángulos y transformaciones, clasifica figuras planas y cuerpos geométricos y calcula perímetros, áreas y volúmenes en situaciones reales.
Localización, desplazamientos y escalas
Orientación espacial y escala gráfica
Para orientarnos sobre un plano o mapa representamos el espacio mediante un sistema de referencia o una cuadrícula. La escala relaciona las medidas del dibujo con las medidas reales.
- Escala numérica: expresa la relación mediante dos números, por ejemplo 1:100 000.
- Escala gráfica: utiliza una barra dividida en segmentos con su equivalencia real.
Escala gráfica y escala numérica
En un mapa oficial de Andalucía elaborado a escala 1:200 000, la distancia en línea recta entre dos municipios de la Vega de Granada mide exactamente 8,5 cm. ¿Cuál es la distancia real que separa a ambas localidades expresada en kilómetros?
Un plano del Parque Natural de Cazorla, Segura y Las Villas está diseñado a escala 1:50 000. Si una ruta senderista tiene una longitud real de 14,5 km, ¿cuántos centímetros medirá dicha ruta sobre el plano?
Un grupo de escolares analiza un mapa turístico de Córdoba a escala 1:10 000. Parten de la Mezquita-Catedral y caminan 4 cm hacia el norte sobre el mapa, luego 2,5 cm hacia el este y finalmente 1,5 cm hacia el sur para llegar al Palacio de Viana.
- a) ¿Cuántos centímetros han recorrido en total sobre el mapa?
- b) ¿A cuántos metros reales equivale ese desplazamiento total?
Observa la escala gráfica de un mapa regional donde un segmento de 2 cm representa una distancia real de 10 km.
- a) Determina la escala numérica correspondiente a dicho mapa.
- b) Si la distancia en el mapa entre Antequera y Ronda es de 11,2 cm, calcula la distancia real en kilómetros.
En el plano de un trazado ferroviario entre Sevilla y Cádiz a escala 1:250 000, dos estaciones distan entre sí 18,4 cm. Un tren de alta velocidad recorre esa distancia a una velocidad media de 180 km/h. ¿Cuántos minutos tardará el tren en realizar ese trayecto?
Ejes cartesianos y cuadrantes
El sistema de coordenadas cartesianas
- Eje X o de abscisas: recta horizontal.
- Eje Y o de ordenadas: recta vertical.
- Origen O(0, 0): punto en el que se cruzan los dos ejes.
- Coordenadas (x, y): indican primero la posición horizontal y después la vertical.
Plano cartesiano y sus cuadrantes
Ejemplo de localización de puntos
Escribe las coordenadas cartesianas (x, y) de los siguientes puntos representados en el plano e indica en qué cuadrante o eje se sitúan:
- a) Punto A: 4 unidades a la derecha del origen y 4 unidades hacia arriba.
- b) Punto B: 3 unidades a la izquierda del origen y 2 unidades hacia arriba.
- c) Punto C: 6 unidades a la izquierda del origen y 4 unidades hacia abajo.
- d) Punto D: 5 unidades a la derecha del origen y 3 unidades hacia abajo.
Dibuja unos ejes cartesianos en papel cuadriculado y representa los siguientes puntos. Indica el cuadrante al que pertenece cada uno:
- a) A(2, 6)
- b) B(-4, 3)
- c) C(-5, -2)
- d) D(3, -4)
Dados los puntos A(1, 2), B(5, 2), C(5, 6) y D(1, 6):
- a) Representa los cuatro puntos en un plano cartesiano y únelos en orden alfabético cerrado.
- b) ¿Qué figura geométrica plana se obtiene?
- c) ¿En qué cuadrante se encuentra completamente ubicada esta figura?
Un barco pesquero parte del puerto ubicado en el origen de coordenadas O (0, 0). Se desplaza 4 unidades a la izquierda y 6 hacia arriba hasta un punto A. Luego se desplaza 7 unidades a la derecha y 8 hacia abajo hasta el punto B.
- a) Calcula las coordenadas de la posición final B.
- b) Indica en qué cuadrante se encuentra el barco en su posición final B.
Determina las coordenadas del vértice D que falta para completar un rectángulo cuyos tres primeros vértices son A(-3, 1), B(2, 1) y C(2, 5). Dibuja la figura en el plano cartesiano.
Analiza las siguientes coordenadas sin dibujarlas en el plano y determina el cuadrante en el que se localiza cada punto basándote en sus signos:
- a) A(-12, 45)
- b) B(34, -18)
- c) C(-8, -50)
- d) D(15, 20)
Ángulos, medición y transformaciones geométricas
Los ángulos y su medición
Un ángulo es la región comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común llamado vértice . Se mide en grados sexagesimales con un transportador.
Dos ángulos son complementarios cuando suman 90° y suplementarios cuando suman 180°.
Clasificación visual de los ángulos
Clasifica los siguientes ángulos según su abertura en agudo, recto, obtuso, llano o completo:
- a) Un ángulo de 45°
- b) Un ángulo de 90°
- c) Un ángulo de 135°
- d) Un ángulo de 180°
Utiliza el transportador de ángulos para dibujar en tu cuaderno los siguientes ángulos e indica el nombre de cada uno según su tipo:
- a) Un ángulo de 30°
- b) Un ángulo de 75°
- c) Un ángulo de 120°
- d) Un ángulo de 150°
Observa las agujas de un reloj y calcula la medida exacta en grados del ángulo que forman a las siguientes horas:
- a) A las 3:00
- b) A las 1:00
- c) A las 4:00
- d) A las 6:00
Calcula el ángulo que falta en cada caso:
- a) El ángulo complementario de un ángulo de 35°.
- b) El ángulo complementario de un ángulo de 60°.
- c) El ángulo suplementario de un ángulo de 110°.
- d) El ángulo suplementario de un ángulo de 45°.
Transformaciones geométricas sencillas
- Traslación: desplaza una figura sin modificar su forma ni tamaño.
- Giro: rota una figura alrededor de un punto fijo.
- Simetría axial: refleja una figura respecto a un eje.
- Semejanza: conserva la forma, pero cambia proporcionalmente el tamaño.
Traslación, giro, simetría y semejanza
Dibuja un triángulo en tu cuaderno y haz lo que se indica:
- a) Dibuja el mismo triángulo trasladado 4 cm a la derecha.
- b) Dibuja otro trasladado 3 cm hacia arriba.
- c) ¿Ha cambiado el tamaño o la forma del triángulo?
Dibuja un cuadrado de 5 cm de lado y elige uno de sus vértices como centro de giro O. En ambos apartados, parte del cuadrado original:
- a) Dibuja el cuadrado girado 90° a la derecha alrededor de O.
- b) Dibuja el cuadrado girado 90° a la izquierda alrededor de O.
Dibuja un eje de simetría. Después, dibuja las siguientes figuras para que sean simétricas:
- a) Un corazón
- b) Una estrella
- c) Una mariposa
Dibuja un triángulo con lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm.
- a) Dibuja otro triángulo semejante cuyos lados midan el doble.
- b) ¿Tienen la misma forma?
- c) ¿Son iguales sus ángulos?
- d) ¿Qué relación hay entre los lados?
Observa las siguientes situaciones y di qué transformación se ha aplicado:
- a) Una figura girada 180° alrededor de un punto.
- b) Una figura igual pero más grande.
- c) Una figura que se ha movido hacia la derecha.
- d) Una figura reflejada como en un espejo.
Elementos geométricos básicos: puntos, líneas y curvas
Definición de elementos fundamentales
- Punto: lugar exacto representado mediante una marca y una letra.
- Recta: línea sin principio ni fin.
- Semirrecta: tiene un origen, pero no tiene final.
- Segmento: está limitado por dos puntos extremos.
- Rectas paralelas: nunca se cortan.
- Rectas secantes: se cortan en un punto.
- Rectas perpendiculares: se cortan formando cuatro ángulos rectos.
Puntos, rectas, semirrectas, segmentos y curvas
Identifica y nombra en tu cuaderno el elemento geométrico correspondiente a cada descripción:
- a) Una línea recta que tiene un origen en el punto P pero no tiene final.
- b) Un trozo de recta delimitado entre el punto A y el punto B.
- c) Una línea sin principio ni fin que pasa por dos puntos.
- d) Dos rectas del plano que se cruzan formando cuatro ángulos rectos de 90°.
Dibuja en tu cuaderno empleando regla:
- a) Dos rectas paralelas r y s separadas por una distancia de 3 cm.
- b) Dos rectas secantes que se corten en un punto O.
- c) Un segmento AB de 6 cm de longitud.
Traza tres puntos no alineados A, B y C en tu cuaderno.
- a) Dibuja todas las rectas posibles que pasen por dos de esos puntos. ¿Cuántas rectas obtienes?
- b) Une los puntos A, B y C mediante segmentos consecutivos cerrados. ¿Qué figura geométrica plana se forma?
Observa las rectas que forman las calles en el plano del centro histórico de Córdoba e indica si son paralelas, secantes o perpendiculares:
- a) Dos calles rectas que avanzan en la misma dirección y nunca llegan a cruzarse.
- b) Un cruce de dos calles en forma de cruz perfecta creando cuatro esquinas iguales.
- c) Dos calles que se unen formando una esquina en diagonal.
Figuras de dos dimensiones
Polígonos y sus elementos
Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectos. Sus elementos principales son lados, vértices, ángulos y diagonales. Es regular cuando todos sus lados y ángulos son iguales.
Elementos de un polígono
Clasificación según el número de lados
Completa los datos requeridos para los siguientes polígonos regulares:
- a) Número de lados, vértices y ángulos de un pentágono regular.
- b) Número de lados, vértices y ángulos de un octógono regular.
- c) Número de lados, vértices y ángulos de un decágono regular.
Dibuja e identifica en tu cuaderno los elementos de un hexágono regular: señala con rojo los vértices, con azul los lados, con verde los ángulos interiores y traza con línea discontinua dos diagonales.
Clasifica los siguientes polígonos según el número de lados e indica si son regulares o irregulares:
- a) Polígono de 3 lados de diferente medida.
- b) Polígono de 6 lados de la misma longitud y con todos sus ángulos de 120°.
- c) Polígono de 4 lados donde dos miden 8 cm y dos miden 5 cm.
- d) Polígono de 8 lados iguales y 8 ángulos iguales.
Determina si las siguientes afirmaciones sobre polígonos son Verdaderas (V) o Falsas (F):
- a) Un triángulo es un polígono que no tiene ninguna diagonal.
- b) Un cuadrado es un cuadrilátero irregular porque sus lados forman ángulos de 90°.
- c) Un polígono regular de 5 lados se llama pentágono regular.
Tipos de triángulos
Según sus lados, los triángulos pueden ser equiláteros, isósceles o escalenos. Según sus ángulos, pueden ser acutángulos, rectángulos u obtusángulos. La suma de sus tres ángulos interiores siempre es 180°.
Clasificación de triángulos
Clasifica los siguientes triángulos indicando su tipo según sus lados y según sus ángulos:
- a) Triángulo con lados de 5 cm, 5 cm y 8 cm, y un ángulo obtuso.
- b) Triángulo con 3 lados de 6 cm y 3 ángulos de 60°.
- c) Triángulo con lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm, y un ángulo de 90°.
- d) Triángulo con lados de 7 cm, 8 cm y 9 cm, y 3 ángulos agudos.
Sabiendo que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°, calcula el valor del ángulo que falta en cada caso:
- a) Un triángulo con dos ángulos que miden 45° y 65°.
- b) Un triángulo rectángulo que tiene un ángulo agudo de 38°.
- c) Un triángulo isósceles que tiene un ángulo obtuso de 120° en el vértice superior (calcula cuánto mide cada uno de los otros dos ángulos iguales).
Dibuja en tu cuaderno utilizando regla:
- a) Un triángulo rectángulo con una base de 4 cm y una altura de 3 cm.
- b) Un triángulo equilátero de 5 cm de lado.
Responde Verdadero (V) o Falso (F) justificando tu respuesta:
- a) Un triángulo equilátero siempre tiene sus tres ángulos de 60°, por lo que es un triángulo acutángulo.
- b) Un triángulo rectángulo puede tener dos ángulos rectos de 90°.
Tipos de cuadriláteros
Los paralelogramos tienen dos pares de lados opuestos paralelos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide. El trapecio solo tiene un par de lados paralelos y el trapezoide no tiene ninguno.
Clasificación de los cuadriláteros
Clasifica los siguientes cuadriláteros en paralelogramos (indicando su nombre exacto) o no paralelogramos:
- a) Figura de 4 lados iguales de 6 cm y ángulos de 60°, 120°, 60° y 120°.
- b) Figura con dos lados paralelos de 10 cm y 6 cm, y dos lados no paralelos.
- c) Figura con lados opuestos iguales de 12 cm y 7 cm y 4 ángulos rectos.
- d) Figura de 4 lados desiguales sin ningún par de lados paralelos.
En los paralelogramos, los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes suman 180°. Calcula los ángulos desconocidos en los siguientes casos:
- a) Un romboide que tiene un ángulo de 50°.
- b) Un rombo que tiene un ángulo obtuso de 130°.
Observa las diagonales de los siguientes cuadriláteros e indica en cuál de ellos las diagonales son iguales y perpendiculares entre sí:
- a) En un cuadrado.
- b) En un rectángulo.
- c) En un rombo.
Dibuja en tu cuaderno empleando regla:
- a) Un trapecio que tenga dos lados paralelos de 8 cm y 5 cm de longitud.
- b) Un rombo cuyas diagonales midan 6 cm y 4 cm.
Circunferencia y círculo
La circunferencia es la línea curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia del centro. El círculo incluye la circunferencia y la superficie interior. Sus elementos principales son centro, radio, diámetro, cuerda y arco.
Elementos de la circunferencia y del círculo
Posiciones de una recta respecto a una circunferencia
Longitud de una circunferencia
Calcula la longitud de la circunferencia en los siguientes casos:
- a) Una circunferencia de 5 cm de radio.
- b) Una circunferencia cuyo diámetro mide 10 cm.
- c) La rueda circular de una bicicleta infantil de 20 cm de radio.
Dibuja en tu cuaderno con compás una circunferencia de 4 cm de radio y traza los siguientes elementos utilizando distintos colores: el centro O, un radio, un diámetro, una cuerda y un arco.
Indica si las siguientes rectas son exteriores, tangentes o secantes:
- a) Una recta que pasa a 8 cm del centro de una circunferencia de 5 cm de radio.
- b) Una recta que pasa a 5 cm del centro de una circunferencia de 5 cm de radio.
- c) Una recta que pasa a 2 cm del centro de una circunferencia de 5 cm de radio.
Completa las siguientes frases sobre la circunferencia y el círculo:
- a) El segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro se llama ___.
- b) La figura plana que comprende la circunferencia y su interior es el ___.
- c) Si un radio mide 6 cm, el diámetro de esa misma circunferencia mide ___ cm.
Cuerpos geométricos tridimensionales
Poliedros y cuerpos redondos
Los poliedros están limitados por caras planas y tienen caras, aristas y vértices. Los prismas poseen dos bases iguales y paralelas; las pirámides tienen una base y caras laterales triangulares.
Los cuerpos redondos tienen al menos una superficie curva. Los principales son el cilindro, el cono y la esfera.
Prismas y pirámides
Cuerpos redondos
8.6.1 Ejercicios de poliedros
Cuenta y anota el número de caras, vértices y aristas que tiene cada uno de los siguientes poliedros:
- a) Un prisma cuadrangular.
- b) Una pirámide cuadrangular.
- c) Un prisma triangular.
- d) Una pirámide pentagonal.
Identifica el nombre del poliedro que corresponde a cada una de estas descripciones:
- a) Cuerpo geométrico con 2 bases octogonales y 8 caras laterales rectangulares.
- b) Cuerpo geométrico con 1 base hexagonal y 6 caras laterales triangulares.
- c) Poliedro regular compuesto por 6 caras que son cuadrados iguales.
- d) Poliedro regular compuesto por 12 caras que son pentágonos regulares.
Clasifica los 5 poliedros regulares indicando el número de caras que tiene cada uno y la forma del polígono de sus caras.
Dibuja en tu cuaderno utilizando la cuadrícula de guía:
- a) Un prisma cuadrangular de base 3 cm × 3 cm y altura 6 cm.
- b) Una pirámide cuadrangular señalando su base y su cúspide.
Si cortamos una barra de pan con forma de prisma recto mediante 4 cortes rectos e independientes paralelos a la base, ¿cuántos trozos o prismas más pequeños obtenemos en total?
8.6.2 Ejercicios de cuerpos redondos
Identifica qué cuerpo redondo se genera al hacer girar rápidamente las siguientes figuras planas alrededor de una línea recta:
- a) Un rectángulo que gira sobre uno de sus lados.
- b) Un triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos.
- c) Un semicírculo que gira sobre su diámetro.
Compara un cilindro y un cono. Escribe dos semejanzas y dos diferencias entre ambos cuerpos redondos.
Nombra los elementos de la esfera señalados en las siguientes descripciones:
- a) La línea imaginaria circular que divide a la esfera en dos mitades iguales o hemisferios.
- b) El segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie exterior de la esfera.
Relaciona cada objeto cotidiano de Andalucía con su cuerpo redondo correspondiente:
- a) Una lata cilíndrica de conservas de melocotón.
- b) Un cucurucho de helado en una heladería de Granada.
- c) Una naranja de las huertas del Guadalquivir.
- d) Un bidón de agua para el riego.
Perímetros y áreas de figuras planas
Fórmulas fundamentales
El perímetro es la longitud del contorno de una figura. En un polígono se calcula sumando las longitudes de sus lados. El área mide la superficie interior y se expresa en unidades cuadradas.
Calcula el perímetro de las siguientes figuras planas:
- a) Un octógono regular que mide 6,5 cm de lado.
- b) Un triángulo isósceles con dos lados de 8,4 cm y un lado desigual de 5,2 cm.
- c) Un romboide cuya base mide 12,5 cm y su lado inclinado 7,8 cm.
- d) Un decágono regular de 4,2 cm de lado.
Una parcela rectangular en la campiña cordobesa tiene un perímetro total de 360 metros. Si sabemos que la base de la parcela mide 110 metros, ¿cuántos metros mide la altura?
Calcula el área de una plaza cuadrada en un pueblo de la Alpujarra cuyo lado mide 24 metros.
Un paño de azulejos sevillanos rectangulares mide 3 metros de largo y 2 metros de alto. Calcula su superficie en metros cuadrados.
El frontal triangular de la fachada de una ermita barroca tiene una base de 8 metros y una altura de 5 metros. Halla su área.
Una vidriera de la Catedral de Granada tiene forma de rombo. Sus diagonales miden Diagonal mayor = 2,4 m y diagonal menor = 1,5 m. ¿Cuál es la superficie de la vidriera?
Un patio interior en un edificio de Córdoba tiene forma de romboide con una base de 9 metros y una altura de 6 metros. Calcula su área total.
Un terreno agrícola dedicado al cultivo de fresas en Almonte (Huelva) tiene forma de trapecio. Sus bases paralelas miden 120 m y 80 m, y su altura es de 40 m. Calcula la superficie total del terreno en metros cuadrados.
Un espacio de un jardín botánico en Málaga es un pentágono regular cuyo lado mide 6 metros y su apotema mide aproximadamente 4,1 metros. Calcula el área aproximada que ocupa ese espacio.
La plaza circular de una fuente céntrica de Jaén tiene un radio de 4 metros. Calcula la superficie que ocupa la fuente utilizando π = 3,14.
Una figura plana combinada está formada por un rectángulo de 10 cm de base por 6 cm de altura, sobre el cual se apoya un triángulo de 10 cm de base y 4 cm de altura. Calcula el área total de la figura.
Un tablero cuadrado de madera de 20 cm de lado tiene recortado en su centro un círculo de 5 cm de radio. Calcula la superficie de madera sobrante tras realizar el corte.
Problemas y desafíos
🧮 Parte A: Problemas y ejercicios de repaso
Resuelve la siguiente expresión combinada respetando la jerarquía de las operaciones:
- (4,2 + 1,8) : 2 + 3,5 × 4 - 10
Un terreno rectangular de 120 m de largo y 80 m de ancho se divide en 4 parcelas rectangulares iguales. Calcula el área de cada una de las 4 parcelas.
De un depósito de agua de 1,2 kilolitros de capacidad se han consumido 3 5 partes para el riego de un jardín. ¿Cuántos litros de agua quedan todavía en el depósito?
En una encuesta realizada a 200 turistas en Ronda sobre su monumento preferido, el 45 % eligió el Puente Nuevo, el 30 % la Colegiata de Santa María y el resto la Plaza de Toros. Calcula cuántos turistas prefirieron cada monumento.
Un camión cisterna cargado de aceite de oliva tiene una masa total de 15 toneladas. Si la masa del camión vacío es de 6 500 kg, calcula la masa neta del aceite expresada en kilogramos.
Un polígono regular tiene un perímetro de 48 cm y cada uno de sus lados mide 6 cm. ¿Cuántos lados tiene este polígono y cómo se llama?
Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado:
- ( 5 6 + 1 6 ) × ( 8 5 - 3 5 )
Un atleta corre alrededor de un parque circular de 50 metros de radio. Si da 10 vueltas completas al parque, ¿cuántos metros recorre en total? (utiliza π = 3,14).
Un prisma rectangular de base 8 cm por 5 cm tiene una altura de 10 cm. Calcula el volumen de dicho prisma en centímetros cúbicos (Volumen = base × ancho × altura).
Se quieren colocar cajas cúbicas de 10 cm de lado dentro de una caja más grande de 40 cm de largo, 30 cm de ancho y 20 cm de alto. ¿Cuántas cajas pequeñas caben en total dentro de la caja grande?
🌟 Parte B: Desafíos competenciales
Desafío 1: El Plano de la Alhambra y los Jardines del Generalife
Un equipo de arquitectos e historiadores trabaja en la restauración de un sector de los jardines del Generalife en la Alhambra de Granada. Disponen de un plano detallado a escala 1:500 (donde 1 cm del plano equivale a 500 cm = 5 metros en la realidad).
El sector incluye:
- Un parterre rectangular dedicado a los naranjos con unas dimensiones reales de 15 metros de largo por 10 metros de ancho.
- Una fuente circular de 2 metros de radio, situada fuera del parterre.
1. Trabajo sobre el plano y escala:
a) Calcula las dimensiones en centímetros (largo y ancho) que tendrá el parterre rectangular de los naranjos dibujado sobre el plano a escala 1:500.
b) ¿Qué área en cm 2 ocupará dicho parterre en el papel del plano?
2. Áreas y costes de embaldosado real:
a) Calcula el área real en metros cuadrados ocupada por el parterre rectangular de los naranjos.
b) Se quiere instalar un suelo de barro cocido en el parterre. Si el metro cuadrado de losa cuesta 35 €, calcula el coste total del material de la obra.
Desafío 2: Restauración de Mosaicos Romanos en Itálica
En el Conjunto Arqueológico de Itálica (Santiponce, Sevilla), los restauradores analizan un mosaico romano compuesto por la repetición de figuras poligonales.
El diseño central del mosaico está formado por:
- Octógonos regulares de 10 cm de lado y apotema aproximada de 12 cm.
- Cuadrados de 10 cm de lado que rellenan los espacios entre octógonos.
1. Análisis geométrico del octógono:
a) Calcula el perímetro de uno de los octógonos regulares del mosaico.
b) Calcula el área de uno de los octógonos aplicando la fórmula: Área = (Perímetro × apotema) / 2.
2. Estudio de materiales:
a) Calcula el área de uno de los cuadrados pequeños de enlace.
b) Si un panel del mosaico está formado por 10 octógonos y 8 cuadrados, calcula la superficie total en centímetros cuadrados que ocupa el panel restaurado.
Desafío 3: Diseño de Cajas de Polvorones Tradicionales de Estepa
Una fábrica artesanal de dulces en Estepa (Sevilla) diseña dos modelos de cajas promocionales para sus polvorones:
- Modelo A: Caja con forma de prisma hexagonal (base hexagonal regular de 8 cm de lado, apotema aproximada de 6,9 cm y altura del prisma 15 cm).
- Modelo B: Caja con forma de cilindro (base circular de 8 cm de radio y altura de 15 cm).
l = 8 cm r = 8 cm
1. Análisis del Modelo A (Prisma Hexagonal):
a) Calcula el perímetro de la base hexagonal (6 lados de 8 cm).
b) Calcula el área de una de las bases hexagonales aplicando la fórmula: Área = (Perímetro × apotema) / 2.
2. Análisis del Modelo B (Cilindro):
a) Calcula el área de una de las bases circulares de la caja aplicando la fórmula: Área = π × radio 2 (con π = 3,14).
b) Compara el área de la base del Modelo A con el área de la base del Modelo B e indica cuál de los dos modelos tiene una base más grande para contener polvorones.
Repasamos lo aprendido
Consolidación y ampliación de los contenidos de geometría
🟢 Ficha de Refuerzo
Resuelve las siguientes actividades:
- a) En una escala 1:100 000, ¿cuántos kilómetros representa 1 cm?
- b) Con la misma escala 1:100 000, convierte 6,5 cm del mapa en distancia real.
- c) Una distancia real de 12 km, ¿cuánto mide a escala 1:200 000?
- d) Explica la diferencia entre escala gráfica y numérica.
Localiza y analiza los puntos:
- a) Indica el cuadrante de A(4, 3).
- b) Indica el cuadrante de B(-5, 2).
- c) Representa C(-3, -4) y D(2, -5).
- d) Escribe las coordenadas del origen.
Clasifica y transforma:
- a) Clasifica 35°, 90°, 140° y 180°.
- b) Halla el complementario de 25°.
- c) Traslada un triángulo tres cuadrículas a la derecha.
- d) Dibuja su simétrico respecto a un eje vertical.
Identifica los elementos:
- a) Diferencia recta, semirrecta y segmento.
- b) Dibuja dos rectas paralelas.
- c) Dibuja dos rectas perpendiculares.
- d) Pon un ejemplo de curva cerrada.
Repasa polígonos y circunferencias:
- a) Clasifica un polígono de 7 lados.
- b) Clasifica un triángulo de lados 5, 5 y 8 cm.
- c) Diferencia trapecio y trapezoide.
- d) Calcula el diámetro de una circunferencia de radio 6 cm.
Identifica los cuerpos:
- a) Nombra un prisma con base triangular.
- b) Indica caras, vértices y aristas de un cubo.
- c) Diferencia cilindro y cono.
- d) Nombra dos elementos de una esfera.
Aplica las fórmulas:
- a) Perímetro de un cuadrado de lado 7 cm.
- b) Área de un rectángulo de 8 cm × 5 cm.
- c) Área de un triángulo de base 10 cm y altura 6 cm.
- d) Área de un círculo de radio 3 cm usando π = 3,14.
Resuelve un problema de varias etapas:
- a) Calcula el área de una parcela de 20 m × 15 m.
- b) Halla su perímetro.
- c) Representa la parcela a escala 1:500.
- d) Calcula el coste de vallarla a 12 € por metro.
🟠 Ficha de Ampliación
Resuelve un reto de doble conversión:
- a) Un plano está a escala 1:25 000.
- b) Una ruta mide 18,4 cm en el plano.
- c) Calcula la distancia real en kilómetros.
- d) Calcula el tiempo a 4,6 km/h.
Construye una figura:
- a) Representa A(-4, 1), B(3, 1), C(3, 5) y D(-4, 5).
- b) Une los puntos.
- c) Identifica la figura.
- d) Calcula su perímetro en unidades.
Combina varias transformaciones:
- a) Dibuja un triángulo escaleno.
- b) Gíralo 90°.
- c) Trasládalo cuatro cuadrículas.
- d) Dibuja su simétrico.
Analiza una composición:
- a) Dibuja tres rectas: r, s y t.
- b) Haz que r y s sean paralelas.
- c) Haz que t sea perpendicular a ambas.
- d) Señala todos los puntos de corte.
Resuelve el desafío:
- a) Dibuja un octógono regular.
- b) Señala tres diagonales.
- c) Inscribe una circunferencia aproximada.
- d) Explica qué elementos coinciden.
Compara dos envases:
- a) Un prisma rectangular de 8 × 5 × 12 cm.
- b) Un cilindro de radio 4 cm y altura 12 cm.
- c) Indica qué datos necesitarías para comparar sus volúmenes.
- d) Explica cuál aprovecharía mejor una caja rectangular.
Calcula una superficie combinada:
- a) Rectángulo de 12 × 8 cm.
- b) Semicírculo de radio 4 cm unido por su diámetro al lado de 8 cm del rectángulo, sin superponer sus superficies.
- c) Calcula el área total.
- d) Calcula el perímetro exterior.
Diseña un jardín a escala:
- a) Rectángulo real de 30 × 20 m.
- b) Fuente circular de radio 3 m.
- c) Dibuja a escala 1:500.
- d) Calcula el área libre del jardín.
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