Multiplicamos, dividimos y repartimos cantidades para organizar pedidos, preparar lotes y comprobar que las cuentas de una cooperativa encajan.
MultiplicamosRepartimosCooperamos
Tomatito nos acompaña en esta situación de aprendizaje.
1.1 Recordamos las tablas y descubrimos patrones
Entendemos el concepto
Multiplicar es una manera rápida de contar grupos iguales. En 6 × 4 hay seis grupos de cuatro elementos: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24.
Los números que multiplicamos se llaman factores y el resultado se llama producto. La tabla pitagórica reúne las tablas del 1 al 10: busca la fila de un factor y la columna del otro para encontrar su producto.
Observa patrones: en la tabla del 2 los resultados son pares; en la del 5 terminan en 0 o 5; en la del 10 terminan en 0. Recuerda que 4 × 6 y 6 × 4 tienen el mismo resultado.
Cómo lo hacemos
Busca la fila 7 y la columna 8: se cruzan en 56.
Comprueba: 7 grupos de 8 son 56 elementos.
Repite intercambiando los factores: 8 × 7 = 56.
Los números que multiplicamos son factores; el resultado es el producto.
Tablas de multiplicar del 1 al 10
Lee la tabla por filas: cada número de la fila se multiplica por el número de la columna. Así puedes estudiar y comprobar todas las tablas.
Tabla pitagórica: tablas de multiplicar del 1 al 10
×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ejemplo resuelto, paso a paso:
6 × 4 = 24: 6 y 4 son factores; 24 es el producto.
Actividad 3. Relaciona una suma repetida con una multiplicación
8 + 8 + 8 + 8
6 + 6 + 6 + 6 + 6
12 + 12 + 12
9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
Actividad 4. Explica si es verdadera cada afirmación
Todos los múltiplos de 10 terminan en cero
8 × 6 es lo mismo que 6 × 8
7 × 5 siempre termina en 5
El doble de 9 × 3 es 9 × 6
1.2 Multiplicaciones por una y dos cifras
Entendemos el concepto
Para multiplicar por una cifra, multiplicamos cada orden empezando por las unidades y hacemos las llevadas necesarias.
Cuando el segundo factor tiene dos cifras, obtenemos dos productos parciales: uno por las unidades y otro por las decenas. El producto por las decenas termina en cero porque representa grupos de diez.
Cómo lo hacemos
Descompón 23 en 20 + 3.
Calcula 124 × 3 = 372.
Calcula 124 × 20 = 2.480.
Suma los parciales: 372 + 2.480 = 2.852.
Ejemplo resuelto, paso a paso:
124 × 23 = 2.852.
Estimación: 120 × 20 = 2.400; el resultado exacto debe ser algo mayor.
Actividad 1. Multiplica por una cifra
234 × 3
407 × 4
625 × 6
1.208 × 5
Actividad 2. Multiplica por dos cifras
126 × 12
208 × 14
315 × 21
147 × 23
Actividad 3. Calcula por descomposición
36 × (10 + 2)
48 × (20 + 3)
75 × (10 + 5)
125 × (30 + 2)
Actividad 4. Halla el total de cada pedido
24 cajas de 12 lápices
18 bolsas de 25 semillas
32 sobres de 14 cromos
15 bandejas de 36 frutas
1.3 Propiedades útiles para multiplicar
Entendemos el concepto
Las propiedades de la multiplicación nos permiten calcular de diferentes formas sin cambiar el resultado.
Conmutativa: si cambiamos el orden de los factores, el producto no cambia. Por ejemplo, 4 × 6 = 6 × 4 = 24. Es útil para utilizar una tabla que conozcamos mejor.
Asociativa: cuando multiplicamos tres o más números, podemos cambiar su agrupación: (2 × 3) × 5 = 2 × (3 × 5) = 30. Podemos multiplicar primero los factores que nos resulten más fáciles.
Distributiva: multiplicar una suma por un número equivale a multiplicar cada sumando y después sumar: 4 × (10 + 2) = 4 × 10 + 4 × 2 = 48.
Además, el 1 es elemento neutro (8 × 1 = 8), mientras que cualquier número multiplicado por 0 da 0.
Cada propiedad nos permite hacer los cálculos de manera más cómoda.
Ejemplo resuelto, paso a paso:
Para 2 × 5 × 9, usa la asociativa y calcula primero 2 × 5 = 10.
Después 10 × 9 = 90.
Actividad 1. Aplica la conmutativa
8 × 15 = ___ × 8
7 × 24 = 24 × ___
13 × 5 = ___ × 13
36 × 4 = 4 × ___
Actividad 2. Agrupa para calcular
(2 × 5) × 9
(4 × 25) × 3
(2 × 10) × 8
(5 × 4) × 6
Actividad 3. Utiliza la distributiva
12 × (5 + 3)
25 × (4 + 2)
16 × (10 + 5)
30 × (7 + 2)
Actividad 4. Compara dos formas de calcular
18 × 5 y (20 − 2) × 5
27 × 4 y (30 − 3) × 4
16 × 6 y (10 + 6) × 6
45 × 3 y (40 + 5) × 3
1.4 Dividimos en partes iguales
Entendemos el concepto
Dividir es repartir una cantidad en partes iguales o averiguar cuántos grupos del mismo tamaño podemos formar. Si repartimos 48 pegatinas entre 6 equipos, cada equipo recibe 8.
Los elementos son: dividendo (cantidad total: 48), divisor (número de grupos: 6), cociente (cantidad que recibe cada grupo: 8) y resto (lo que sobra: 0 en este ejemplo).
También podemos representar la división de manera vertical. Sea cual sea el formato, esos cuatro nombres tienen el mismo significado.
Cómo lo hacemos
Plantea: 48 ÷ 6.
Pregúntate qué número multiplicado por 6 da 48.
Como 6 × 8 = 48, el cociente es 8.
Comprueba: 6 × 8 + 0 = 48.
48 es lo que repartimos; 6 indica los grupos; 8 es lo que corresponde a cada grupo.
Ejemplo resuelto, paso a paso:
Tenemos 36 cuadernos y 6 equipos: 36 ÷ 6 = 6.
Cada equipo recibe 6 cuadernos y no sobra ninguno.
Actividad 1. Reparte sin que sobre nada
48 pegatinas entre 6 alumnos
72 fichas entre 8 equipos
54 lápices en 9 estuches
96 semillas en 12 sobres
Actividad 2. Escribe la división que corresponde
35 galletas en 5 platos
64 páginas en 8 días
81 cromos en 9 grupos
42 semillas en 7 filas
Actividad 3. Averigua el número de grupos
60 caramelos en bolsas de 10
84 fichas en grupos de 7
72 vasos en cajas de 8
56 flores en ramos de 4
Actividad 4. Dibuja un esquema del reparto
24 objetos en 4 partes
30 objetos en 5 partes
45 objetos en 9 partes
48 objetos en 6 partes
1.5 División con resto
Entendemos el concepto
Una división no siempre es exacta. Si no podemos formar más grupos completos, lo que queda sin repartir es el resto.
El resto tiene que ser menor que el divisor. Para comprobar una división, multiplicamos divisor × cociente y sumamos el resto: debemos recuperar el dividendo.
Cómo lo hacemos
Reparte 35 caramelos en bolsas de 6.
Entran 5 bolsas completas: 6 × 5 = 30.
Quedan 35 − 30 = 5 caramelos.
Comprueba: 6 × 5 + 5 = 35 y 5 es menor que 6.
Ejemplo resuelto, paso a paso:
35 ÷ 6 = 5 y resto 5.
No podemos llenar una sexta bolsa porque necesitaríamos 6 caramelos y solo quedan 5.
Actividad 1. Divide e indica cociente y resto
37 ÷ 5
58 ÷ 7
94 ÷ 8
125 ÷ 6
Actividad 2. Compara el resto con el divisor
83 ÷ 9
146 ÷ 5
208 ÷ 7
319 ÷ 8
Actividad 3. Comprueba con la operación inversa
65 ÷ 6
92 ÷ 7
157 ÷ 9
235 ÷ 4
Actividad 4. Decide qué hacer con lo que sobra
29 niños en equipos de 4
53 frutas en bolsas de 6
78 libros en cajas de 10
96 cromos en grupos de 7
1.6 Multiplicación y división se relacionan
Entendemos el concepto
Multiplicación y división son operaciones inversas. Si sabemos que 8 × 12 = 96, podemos averiguar 96 ÷ 8 y 96 ÷ 12 sin empezar de cero.
Para una división exacta, divisor × cociente = dividendo. Esta relación sirve para comprobar resultados y localizar errores.
Cómo lo hacemos
Multiplica: 8 × 12 = 96.
Cubre uno de los factores: 96 ÷ 8 = 12.
Cubre el otro: 96 ÷ 12 = 8.
Ejemplo resuelto, paso a paso:
En una caja hay 7 filas de 9 lápices: 7 × 9 = 63.
Si repartimos esos 63 lápices en 7 filas iguales, hay 9 por fila.
Actividad 1. Forma dos divisiones a partir del producto
7 × 9 = 63
6 × 14 = 84
8 × 15 = 120
12 × 11 = 132
Actividad 2. Encuentra el factor desconocido
8 × ___ = 96
___ × 7 = 105
15 × ___ = 180
___ × 9 = 216
Actividad 3. Comprueba cada división con un producto
144 ÷ 12
168 ÷ 7
225 ÷ 9
360 ÷ 15
Actividad 4. Decide si las operaciones son inversas
6 × 8 = 48 y 48 ÷ 6 = 8
9 × 7 = 63 y 63 ÷ 9 = 8
12 × 5 = 60 y 60 ÷ 12 = 5
14 × 4 = 56 y 56 ÷ 7 = 4
1.7 Pedidos y repartos en varias etapas
Entendemos el concepto
En los problemas de pedidos y repartos aparecen varias preguntas relacionadas. Primero calculamos el total de objetos con una multiplicación; después repartimos con una división.
Antes de operar, apunta los datos y su unidad (cajas, lápices, equipos…). Explica qué significa cada resultado, no solo el número.